Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo: vamos verificar primeiro a convergência absoluta analisando ,
e depois testar a convergência condicional usando o critério da série alternada (Leibniz).
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyln nn
Aplicamos o teste da integral: seja f(x)=ln xx para x>=1. Então
Como limMtoinfty12(ln M)^2=infty, a integral diverge, logo sum ln nn diverge.
Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora usamos o critério de Leibniz para séries alternadas na sequência
an = ln nn
Precisamos checar que
limntoinftyan=0. De fato limntoinftyln nn=0.
an é eventualmente decrescente. Note que, para x>0,
f'(x) =1-ln xx^2 <= 0 sempre que ln x>= 1,
ou seja, para x>= e. Logo a sequência l(anr) é decrescente a partir de n=3.
Como as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que sum(-1)^n-1an converge.