Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sum(-1)^n-1 ln nn

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série
sumn=1^infty(-1)^n-1ln nn
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo: vamos verificar primeiro a convergência absoluta analisando
sumn=1^inftyl|!(-1)^n-1tfracln nnr|=sumn=1^inftyln nn,
e depois testar a convergência condicional usando o critério da série alternada (Leibniz).

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyln nn
Aplicamos o teste da integral: seja f(x)=ln xx para x>=1. Então
integral1^M ln xx,dx = 12l(ln xr)^2|1^M = 12l(ln Mr)^2
Como limMtoinfty12(ln M)^2=infty, a integral diverge, logo
sum ln nn diverge.
Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora usamos o critério de Leibniz para séries alternadas na sequência
an = ln nn
Precisamos checar que
  1. limntoinftyan=0. De fato
    limntoinftyln nn=0.
  2. an é eventualmente decrescente. Note que, para x>0,
f'(x) =1-ln xx^2 <= 0 sempre que ln x>= 1,
ou seja, para x>= e. Logo a sequência l(anr) é decrescente a partir de n=3.
Como as duas condições do teste de Leibniz estão satisfeitas, concluímos que
sum(-1)^n-1an converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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