Mostre que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x y+2 y^2x^2+y^2-x y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) x y + 2y^2x^2 + y^2 - x y
não existe. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e vamos usar o critério de dependência de caminho, isto é, provar que ao longo de retas diferentes y=mx obtemos valores distintos.

Passo 2

Consideramos a reta y = m x. Substituindo na expressão, vem
x y + 2y^2x^2 + y^2 - x y = x,(m x) + 2,(m x)^2x^2 + (m x)^2 - x,(m x) = x^2,(m + 2m^2)x^2,(1 + m^2 - m)
Como xneq0 na vizinhança de zero, o limite ao longo de y=mx é
L(m) ;=; m + 2m^21 + m^2 - m

Passo 3

Basta agora escolher dois valores de m que dêem resultados diferentes. Por exemplo,
L(0) = 0 + 2cdot0^21 + 0^2 - 0 = 0, L(1) = 1 + 2cdot1^21 + 1^2 - 1 = 3
Como L(0)neq L(1), o valor do limite depende da reta de aproximação, mostrando que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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