Qual é o maior valor inteiro que P pode assumir de modo que o ponto A(5,4) seja exterior a (lambda) x^2+y^2-2 x-2 y-P=0.

Passo 1

O enunciado pede o maior valor inteiro de P de modo que o ponto A(5,4) esteja no exterior do círculo
(lambda)colon x^2+y^2-2x-2y-P=0
O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos: identificação do centro e do raio e a condição de exterioridade (distância do ponto ao centro maior que o raio).

Passo 2

Para identificar o centro e o raio escrevemos a equação em forma reduzida. Agrupando termos em x e y,
x^2-2x + y^2-2y = P
completamos quadrados:
(x-1)^2-1 + (y-1)^2-1 = P Longrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2 = P+2
Logo o centro é C(1,1) e o raio é
r = raizP+2

Passo 3

Calculamos a distância de A(5,4) até C(1,1):
d = raiz(5-1)^2 + (4-1)^2 = raiz16 +9 =5

Passo 4

O ponto A está no exterior do círculo se e somente se d>r, isto é,
5 > raizP+2 Longrightarrow 25 > P+2 Longrightarrow P < 23
Como P deve ser inteiro, o maior P permitido é 22.

Resposta

O maior valor inteiro de P é 22.

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