Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sum(-1)^n sen(pin)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nsen!l(tfracpinr)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries: primeiro avaliamos a convergência absoluta e, se falhar, aplicamos o critério da série alternada (Leibniz).

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta estudando
sumn=1^inftyl|senl(tfracpinr)r|
Para n grande temos sen(x)sim x quando xto0. Logo
sen!l(tfracpinr)sim tfracpin,
e pelo teste da comparação-limite
limntoinftysen!l(tfracpinr)1/n =limntoinftypi,11= pineq0,
então sum sen(pi/n) diverge como a harmônica. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série alternada
sumn=1^infty(-1)^nan, an=sen!l(tfracpinr)>0
(1) Monotonicidade: para n crescente tfracpin decresce e, como sen(x) é crescente em [0,pi], segue que an é decrescente.
(2) Anulamento do termo geral:
limntoinftyan=limntoinftysen!l(tfracpinr)=0
Pelo teste de Leibniz, a série converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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