Qual é o maior valor inteiro que P pode assumir de modo que o ponto A(7,9) seja exterior a (lambda) x^2+y^2-2 x-2 y-P=0 ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva definida por
x^2+y^2-2x-2y-P=0
que é uma circunferência em função de P, e queremos o maior valor inteiro de P para que o ponto A(7,9) seja exterior a essa circunferência.

Passo 2

Para escrever essa equação na forma canónica de círculo, completamos quadrados em x e em y:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo na equação original obtemos
(x-1)^2-1 + (y-1)^2-1 - P = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y-1)^2 = P + 2

Passo 3

Dessa forma a circunferência tem centro
C(1,1)
e raio
r = raizP+2

Passo 4

A distância do ponto A(7,9) até o centro C(1,1) é
d = raiz(7-1)^2 + (9-1)^2 = raiz6^2 + 8^2 = 10
Para que A seja exterior à circunferência, precisamos de
d > r Longrightarrow 10 > raizP+2

Passo 5

Elevando ambos os lados ao quadrado, vem
100 > P + 2 Longrightarrow P < 98
Como P deve ser inteiro, o maior valor possível é
P = 97

Resposta

97

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