Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes de convergência:
– teste de comparação para verificar convergência absoluta,
– Teste de Leibniz para série alternante.
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, consideramos
Usamos o Teste da Comparação Limite com a série harmônica sum 1/n:
limntoinfty13n-11n = limntoinftyn3n-1 = tfrac13
Como esse limite é finito e não nulo, e sum 1/n diverge, concluímos que sum 1/(3n-1) também diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar convergência condicional, aplicamos o Teste de Leibniz à série alternante. Seja
bn = 13n-1
Precisamos checar duas condições:
(i) bn é decrescente, pois para todo n>=1
(ii) limntoinftybn = limntoinfty13n-1 = 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, o Teste de Leibniz garante que a série alternante converge.
Passo 4
Concluímos que a série não converge absolutamente (Passo 2), mas converge pelo Teste de Leibniz (Passo 3). Portanto, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-13n-1 é condicionalmente convergente.