Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sum (-1)^n-13 n-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty (-1)^n-13n-1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes de convergência:
– teste de comparação para verificar convergência absoluta,
– Teste de Leibniz para série alternante.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty gl|(-1)^n-13n-1gr| = sumn=1^infty 13n-1
Usamos o Teste da Comparação Limite com a série harmônica sum 1/n:
limntoinfty13n-11n = limntoinftyn3n-1 = tfrac13
Como esse limite é finito e não nulo, e sum 1/n diverge, concluímos que sum 1/(3n-1) também diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, aplicamos o Teste de Leibniz à série alternante. Seja
bn = 13n-1
Precisamos checar duas condições:
(i) bn é decrescente, pois para todo n>=1
3n+2 > 3n-1 Longrightarrow 13n+2 < 13n-1 Longrightarrow bn+1 < bn
(ii) limntoinftybn = limntoinfty13n-1 = 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, o Teste de Leibniz garante que a série alternante converge.

Passo 4

Concluímos que a série não converge absolutamente (Passo 2), mas converge pelo Teste de Leibniz (Passo 3). Portanto, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-13n-1 é condicionalmente convergente.

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