Classifique as séries abaixo em absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - Cada
é positivo para todo (pois a razão dentro do parêntese é positiva). - Como os termos são não-negativos, a convergência absoluta coincide com a convergência simples: se a série converge, ela já é absolutamente convergente; portanto não há caso de convergência condicional aqui.
Passo 2
Estratégia: usar o teste da raiz (teste de Cauchy), que é especialmente natural quando o termo geral tem uma potência
. Vou enunciar o teste e depois aplicar ao nosso
.
Enunciado do teste da raiz:
- Para uma série
com , defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida:
mede a “base” da potência em termos do crescimento exponencial; se essa base tende a algo menor que 1, os termos decaem geometricamente e somam.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao nosso termo
.
Calcule a raiz
-ésima:
Aqui usei que
para
. Então a quantidade que precisamos estudar é simplesmente
Passo 4
Calcular o limite de
quando
. Para isso, divido numerador e denominador por
:
Ao fazer
, os termos
tendem a
. Portanto
Passo 5
Conclusão do teste da raiz: o limite
.
Como
, pelo teste da raiz a série
converge absolutamente.
Comentário adicional didático e prático: quando um termo geral é da forma
, o teste da raiz costuma ser a primeira tentativa natural — porque a raiz
-ésima remove a potência
e deixa algo mais simples para avaliar o limite.
Passo 6
Ressaltando consequência: a série tem termos positivos, então não há convergência condicional possível. A única possibilidade de convergência é absoluta, e já mostramos que ela ocorre.
Resposta
A série é absolutamente convergente.