Classifique as séries abaixo em absolutamente convergentes, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede: classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}.
  • Cada a_n é positivo para todo n (pois a razão dentro do parêntese é positiva).
  • Como os termos são não-negativos, a convergência absoluta coincide com a convergência simples: se a série converge, ela já é absolutamente convergente; portanto não há caso de convergência condicional aqui.

Passo 2

Estratégia: usar o teste da raiz (teste de Cauchy), que é especialmente natural quando o termo geral tem uma potência ^{n}. Vou enunciar o teste e depois aplicar ao nosso a_n.
Enunciado do teste da raiz:
  • Para uma série \sum a_n com a_n\ge0, defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: \sqrt[n]{a_n} mede a “base” da potência em termos do crescimento exponencial; se essa base tende a algo menor que 1, os termos decaem geometricamente e somam.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao nosso termo a_n=\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}.
Calcule a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.
Aqui usei que \sqrt[n]{x^{n}}=x para x>0. Então a quantidade que precisamos estudar é simplesmente
b_n:=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}.

Passo 4

Calcular o limite de b_n quando n\to\infty. Para isso, divido numerador e denominador por n^{2}:
b_n=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}=\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Ao fazer n\to\infty, os termos \dfrac{1}{n^{2}} tendem a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão do teste da raiz: o limite L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{1}{2}.
Como L=\dfrac{1}{2}<1, pelo teste da raiz a série \sum a_n converge absolutamente.
Comentário adicional didático e prático: quando um termo geral é da forma (\text{algo que depende de }n)^{n}, o teste da raiz costuma ser a primeira tentativa natural — porque a raiz n-ésima remove a potência n e deixa algo mais simples para avaliar o limite.

Passo 6

Ressaltando consequência: a série tem termos positivos, então não há convergência condicional possível. A única possibilidade de convergência é absoluta, e já mostramos que ela ocorre.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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