Mostre que se \alpha \in \mathbb{Z} então z^{\alpha} tem valor único.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, se \alpha \in \mathbb{Z}, então a potência complexa z^{\alpha} tem valor único.
Informações relevantes que vamos usar (não vou resolver ainda, só listar):
  • z é um número complexo. Escrevemos z na forma polar como z = r e^{i\theta}, com r\ge 0 e \theta qualquer argumento de z.
  • A função logaritmo complexo é multivaluada: uma forma geral de escrever os valores de \Log z é
\Log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • A potência complexa é definida, em geral, por
z^{\alpha} := e^{\alpha \Log z},
o que produz possivelmente vários valores por causa dos diferentes k.
O que devemos provar: quando \alpha é inteiro, todos esses possíveis valores coincidem (ou seja, a multivaluação desaparece) — com atenção ao caso z=0, que requer tratamento separado.

Passo 2

Vou explicar a definição e escrever explicitamente o conjunto de valores possíveis de z^{\alpha}.
Se z = r e^{i\theta} com r>0, então os ramos do logaritmo são \Log z = \ln r + i(\theta+2k\pi), k\in\mathbb{Z}. Aplicando a definição
z^{\alpha} = e^{\alpha \Log z},
obtemos o conjunto (para todos os ramos k):
\big\{ e^{\alpha(\ln r + i(\theta+2k\pi))} \;:\; k\in\mathbb{Z} \big\}.
Agora faço uma simplificação usando a regra e^{a+ib}=e^{a}e^{ib} e e^{\alpha\ln r}=r^{\alpha}. Logo cada elemento desse conjunto é
e^{\alpha(\ln r + i(\theta+2k\pi))} = r^{\alpha}\, e^{i\alpha\theta}\, e^{i 2\pi k \alpha}.
Portanto o conjunto de valores possíveis é
\{ r^{\alpha} e^{i\alpha\theta} e^{i2\pi k\alpha} \;:\; k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Agora vemos o efeito de \alpha ser inteiro. Seja \alpha = n\in\mathbb{Z}. Então 2\pi k \alpha = 2\pi (k n), que é um múltiplo inteiro de 2\pi. Como para todo inteiro m vale e^{i2\pi m}=1, temos
e^{i2\pi k \alpha} = e^{i2\pi (kn)} = 1.
Assim, para \alpha inteiro cada termo do conjunto do passo anterior é simplesmente
r^{n} e^{i n \theta}\cdot 1 = r^{n} e^{i n \theta},
independente de k. Portanto todos os ramos produzem o mesmo valor: a potência não é mais multivaluada — tem um único valor.

Passo 4

Interpretação e explicação didática do resultado (para você entender na prova):
  • A ambiguidade de z^{\alpha} vem exclusivamente da ambiguidade do argumento \theta (pode-se somar 2\pi k). Ao elevar ao expoente \alpha aparece um fator e^{i2\pi k\alpha}.
  • Se \alpha é inteiro, esse fator vale 1 para todo k, então a ambiguidade desaparece e obtemos um único valor.
  • Se \alpha não é inteiro, em geral e^{i2\pi k\alpha} não é sempre 1 e teremos vários valores distintos (a potência é multivaluada).

Passo 5

Tratamento dos casos com z=0 (que a prova pode cobrar):
  • Se n>0 inteiro, 0^{n}=0 é bem definido e único.
  • Se n=0, a expressão 0^{0} é indeterminada; na teoria das potências costuma-se deixar 0^{0} indefinido.
  • Se n<0 inteiro, z^{n}=1/z^{|n|} e, para z=0, isto não está definido (divisão por zero).
    Portanto a afirmação “tem valor único” vale para z\neq 0 e \alpha\in\mathbb{Z}; para z=0 há as observações acima.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar: seja z=e^{i\pi/3} e n=3. Usando um argumento \theta=\pi/3 temos
z^{3} = r^{3} e^{i3\theta} = 1^{3} e^{i\pi} = e^{i\pi} = -1.
Se em vez de \theta=\pi/3 usarmos \theta'=\pi/3+2\pi, o fator extra é e^{i2\pi\cdot 3}=e^{i6\pi}=1, então o resultado continua -1. Isso ilustra concretamente por que a potência é única quando o expoente é inteiro.

Resposta

Para z\neq 0 e \alpha=n\in\mathbb{Z} vale
z^{n}=r^{n}e^{in\theta},
onde z=re^{i\theta}; todos os ramos do logaritmo dão o mesmo valor porque e^{i2\pi k n}=1 para todo k, logo z^{n} é único.
Para z=0: se n>0 então 0^{n}=0 (único); se n\le 0 a potência não é bem definida ( 0^{0} é indeterminado e 0^{n} para n<0 é indefinido).

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