Mostre que se
então
tem valor único.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, se
, então a potência complexa
tem valor único.
Informações relevantes que vamos usar (não vou resolver ainda, só listar):
Informações relevantes que vamos usar (não vou resolver ainda, só listar):
-
é um número complexo. Escrevemos na forma polar como , com e qualquer argumento de . - A função logaritmo complexo é multivaluada: uma forma geral de escrever os valores de é
- A potência complexa é definida, em geral, por
o que produz possivelmente vários valores por causa dos diferentes
.
O que devemos provar: quando é inteiro, todos esses possíveis valores coincidem (ou seja, a multivaluação desaparece) — com atenção ao caso
, que requer tratamento separado.
O que devemos provar: quando
Passo 2
Vou explicar a definição e escrever explicitamente o conjunto de valores possíveis de
.
Se com
, então os ramos do logaritmo são
,
. Aplicando a definição
Se
obtemos o conjunto (para todos os ramos
):
Agora faço uma simplificação usando a regra
e
. Logo cada elemento desse conjunto é
Portanto o conjunto de valores possíveis é
Passo 3
Agora vemos o efeito de
ser inteiro. Seja
. Então
, que é um múltiplo inteiro de
. Como para todo inteiro
vale
, temos
Assim, para
inteiro cada termo do conjunto do passo anterior é simplesmente
independente de
. Portanto todos os ramos produzem o mesmo valor: a potência não é mais multivaluada — tem um único valor.
Passo 4
Interpretação e explicação didática do resultado (para você entender na prova):
- A ambiguidade de
vem exclusivamente da ambiguidade do argumento (pode-se somar ). Ao elevar ao expoente aparece um fator . - Se
é inteiro, esse fator vale para todo , então a ambiguidade desaparece e obtemos um único valor. - Se
não é inteiro, em geral não é sempre e teremos vários valores distintos (a potência é multivaluada).
Passo 5
Tratamento dos casos com
(que a prova pode cobrar):
- Se
inteiro, é bem definido e único. - Se
, a expressão é indeterminada; na teoria das potências costuma-se deixar indefinido. - Se
inteiro, e, para , isto não está definido (divisão por zero).
Portanto a afirmação “tem valor único” vale parae ; para há as observações acima.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar: seja
e
. Usando um argumento
temos
Se em vez de
usarmos
, o fator extra é
, então o resultado continua
. Isso ilustra concretamente por que a potência é única quando o expoente é inteiro.
Resposta
Para
e
vale
onde
; todos os ramos do logaritmo dão o mesmo valor porque
para todo
, logo
é único.
Para : se
então
(único); se
a potência não é bem definida (
é indeterminado e
para
é indefinido).
Para