Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral é
. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência.
Passo 2
Que testes vou considerar (curtinha a explicação para a prova):
- Teste do termo geral (ou teste da divergência): se uma série
converge, necessariamente quando . Portanto, se (ou não existe), a série diverge. - Teste de Leibniz (série alternada): se
com , e é monótona decrescente e , então a série converge (talvez condicionalmente). Note que uma verificação rápida pelo teste do termo geral vem antes de tentar aplicar Leibniz: se o termo não tende a zero, nem perca tempo com outros testes.
Passo 3
Vou calcular o limite do módulo do termo (isso costuma ser mais simples):
Divido numerador e denominador por
:
Tomando limite quando
(lembrando que
):
Passo 4
Agora observo o comportamento do termo completo
. Como o módulo
, o termo alternado
oscila aproximando-se de
para algum subsequência e de
para outra subsequência; em particular não tende a
. Mais formalmente,
não existe e, certamente, não é
.
Passo 5
Pelo teste do termo geral: se
convergisse então seria necessário
. Como aqui
, a série não pode convergir. Não é preciso aplicar testes mais sofisticados (nem Leibniz, nem teste absoluto): a falha do termo geral já garante divergência.
Passo 6
Dica rápida para a prova (anota aí): sempre comece verificando
. Se não for zero, declara divergência imediatamente — é o caminho mais rápido e seguro. Vai dar certo, respira fundo e confiança!
Resposta
Divergente