Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 n-1)}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{3n-1}{2n+1}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral é a_n = (-1)^{n}\dfrac{3n-1}{2n+1}. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Que testes vou considerar (curtinha a explicação para a prova):
  • Teste do termo geral (ou teste da divergência): se uma série \sum a_n converge, necessariamente a_n \to 0 quando n\to\infty. Portanto, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge.
  • Teste de Leibniz (série alternada): se a_n = (-1)^n b_n com b_n\ge0, e b_n é monótona decrescente e b_n\to0, então a série converge (talvez condicionalmente). Note que uma verificação rápida pelo teste do termo geral vem antes de tentar aplicar Leibniz: se o termo não tende a zero, nem perca tempo com outros testes.

Passo 3

Vou calcular o limite do módulo do termo (isso costuma ser mais simples):
\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n+1}.
Divido numerador e denominador por n:
\frac{3n-1}{2n+1}=\frac{3-\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}.
Tomando limite quando n\to\infty (lembrando que \tfrac{1}{n}\to0):
\lim_{n\to\infty}\frac{3-\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{3-0}{2+0}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Agora observo o comportamento do termo completo a_n. Como o módulo \dfrac{3n-1}{2n+1}\to \dfrac{3}{2}, o termo alternado
a_n = (-1)^n\frac{3n-1}{2n+1}
oscila aproximando-se de +\dfrac{3}{2} para algum subsequência e de -\dfrac{3}{2} para outra subsequência; em particular não tende a 0. Mais formalmente,
\lim_{n\to\infty} a_n
não existe e, certamente, não é 0.

Passo 5

Pelo teste do termo geral: se \sum a_n convergisse então seria necessário a_n\to0. Como aqui a_n\not\to0, a série não pode convergir. Não é preciso aplicar testes mais sofisticados (nem Leibniz, nem teste absoluto): a falha do termo geral já garante divergência.

Passo 6

Dica rápida para a prova (anota aí): sempre comece verificando \lim_{n\to\infty} a_n. Se não for zero, declara divergência imediatamente — é o caminho mais rápido e seguro. Vai dar certo, respira fundo e confiança!

Resposta

Divergente

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