Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
- classificar se é uma série telescópica ou uma série geométrica; 2) calcular o valor da soma (se convergir). A informação dada é a fórmula do termo geral
para .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo geral algébrica e ver se ele admite uma forma que telescope. Observe o denominador quadraticamente:
As raízes são
e
. Logo podemos fatorar
Assim o termo geral fica
Passo 3
Verificamos rapidamente que não é uma série geométrica: para isso o quociente
teria que ser constante independe de
. Aqui
que depende de
, portanto não é constante — logo não é geométrica. A forma fatorada sugere tentar decomposição em frações parciais, que é o caminho típico para obter uma soma telescópica.
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
procuramos e
tais que
procuramos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: do termo em
vem
e do termo constante vem
. Como
, substituindo na segunda equação:
Portanto
Convertendo para frações com numeradores inteiros, note que
e
. Substituindo e simplificando o fator
, obtemos a forma ainda mais simples
Passo 5
Agora somamos os primeiros
termos para ver o telescópio:
Escrevendo os primeiros termos fica claro o cancelamento:
pois os termos intermediários
cancelam entre positivos e negativos.]
Passo 6
Para obter a soma da série infinita, fazemos
. Os últimos dois termos
e
tendem a
. Portanto
Encerrando: a série não é geométrica e é telescópica por causa da decomposição em frações parciais que gera cancelamentos em soma parcial.
Resposta
Telescópica