Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{4 n^{2}+4 n-3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{4n^{2}+4n-3}:
  1. classificar se é uma série telescópica ou uma série geométrica; 2) calcular o valor da soma (se convergir). A informação dada é a fórmula do termo geral a_n=\dfrac{4}{4n^{2}+4n-3} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral algébrica e ver se ele admite uma forma que telescope. Observe o denominador quadraticamente:
4n^{2}+4n-3=0\quad\Rightarrow\quad n=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm8}{8}.
As raízes são n=\tfrac12 e n=-\tfrac32. Logo podemos fatorar
4n^{2}+4n-3=4\bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr).
Assim o termo geral fica
\frac{4}{4n^{2}+4n-3} =\frac{4}{4\bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr)} =\frac{1}{\bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr)}.

Passo 3

Verificamos rapidamente que não é uma série geométrica: para isso o quociente a_{n+1}/a_n teria que ser constante independe de n. Aqui
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n-\tfrac12)(n+\tfrac32)}{(n+\tfrac12)(n+\tfrac52)},
que depende de n, portanto não é constante — logo não é geométrica. A forma fatorada sugere tentar decomposição em frações parciais, que é o caminho típico para obter uma soma telescópica.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
procuramos A e B tais que
\frac{1}{\bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr)}=\frac{A}{n-\tfrac12}+\frac{B}{n+\tfrac32}.
Multiplicando por \bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr) obtemos
1=A\bigl(n+\tfrac32\bigr)+B\bigl(n-\tfrac12\bigr).
Comparando coeficientes: do termo em n vem A+B=0 e do termo constante vem \tfrac32A-\tfrac12B=1. Como B=-A, substituindo na segunda equação:
\tfrac32A-\tfrac12(-A)=\tfrac32A+\tfrac12A=2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac12,\quad B=-\tfrac12.
Portanto
\frac{1}{\bigl(n-\tfrac12\bigr)\bigl(n+\tfrac32\bigr)} =\tfrac12\!\left(\frac{1}{n-\tfrac12}-\frac{1}{n+\tfrac32}\right).
Convertendo para frações com numeradores inteiros, note que \frac{1}{n-\tfrac12}=\frac{2}{2n-1} e \frac{1}{n+\tfrac32}=\frac{2}{2n+3}. Substituindo e simplificando o fator \tfrac12, obtemos a forma ainda mais simples
a_n=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}.

Passo 5

Agora somamos os primeiros N termos para ver o telescópio:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}\right).
Escrevendo os primeiros termos fica claro o cancelamento:
\begin{aligned} S_N&=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+3}\right)\\[4pt] &=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+1}-\frac{1}{2N+3}, \end{aligned}
pois os termos intermediários 1/5,1/7,\dots,1/(2N-1) cancelam entre positivos e negativos.]

Passo 6

Para obter a soma da série infinita, fazemos N\to\infty. Os últimos dois termos \dfrac{1}{2N+1} e \dfrac{1}{2N+3} tendem a 0. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{4n^{2}+4n-3} =\lim_{N\to\infty}S_N =1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.
Encerrando: a série não é geométrica e é telescópica por causa da decomposição em frações parciais que gera cancelamentos em soma parcial.

Resposta

Telescópica
\displaystyle \frac{4}{3}

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