Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{1}{3^{n+2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar e somar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{1}{3^{n+2}}\right).
Informações relevantes dadas:
\text{termo geral } a_n=\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{1}{3^{n+2}},\quad n=1,2,3,\dots
As perguntas são: (1) classificar a série (telescópica ou geométrica) e (2) calcular o valor da soma, caso a série convirja.

Passo 2

Vamos reescrever cada parcela em uma forma padrão de série geométrica. Primeiro manipulamos as potências para deixar em termos de (1/2)^n e (1/3)^n.
Calculemos
\frac{1}{2^{n-2}}=2^{-(n-2)}=2^{2}\cdot 2^{-n}=4\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
e
\frac{1}{3^{n+2}}=3^{-(n+2)}=3^{-2}\cdot 3^{-n}=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Portanto o termo geral fica
a_n=4\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 3

Observação sobre classificação: uma série geométrica tem termos da forma \text{const}\cdot r^{n} ou \text{const}\cdot r^{n-1}. Aqui o termo geral é a diferença de duas expressões do tipo constante vezes uma potência (1/2)^n e (1/3)^n. Logo a série dada é a diferença de duas séries geométricas (não é telescópica). Escrevemos explicitamente como soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}a_n = 4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} - \frac{1}{9}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 4

Convergência das séries geométricas: uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos r=\tfrac{1}{2} e r=\tfrac{1}{3}, ambos com valor absoluto menor que 1, portanto as duas séries convergem e podemos somá-las separadamente.
Fórmula que usaremos: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Uma breve derivação: seja S=1+r+r^{2}+\dots. Então rS=r+r^{2}+\dots. Subtraindo, S-rS=1, logo S=\frac{1}{1-r}. Subtraindo o termo 1 obtemos \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=S-1=\frac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula às duas séries separadas.
Primeiro,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Segundo,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora recombinamos com os coeficientes que apareceram ao reescrever os termos:
4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=4\cdot 1 - \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}.
Calculemos
4 - \frac{1}{18}=\frac{72}{18}-\frac{1}{18}=\frac{71}{18}.

Resposta

A série é a diferença de duas séries geométricas convergentes (não é telescópica).
\displaystyle \frac{71}{18}

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