Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede para classificar e somar a série
Informações relevantes dadas:
As perguntas são: (1) classificar a série (telescópica ou geométrica) e (2) calcular o valor da soma, caso a série convirja.
Passo 2
Vamos reescrever cada parcela em uma forma padrão de série geométrica. Primeiro manipulamos as potências para deixar em termos de
e
.
Calculemos
e
Portanto o termo geral fica
Passo 3
Observação sobre classificação: uma série geométrica tem termos da forma
ou
. Aqui o termo geral é a diferença de duas expressões do tipo constante vezes uma potência
e
. Logo a série dada é a diferença de duas séries geométricas (não é telescópica). Escrevemos explicitamente como soma de duas séries:
Passo 4
Convergência das séries geométricas: uma série geométrica
converge se, e somente se,
. Aqui temos
e
, ambos com valor absoluto menor que
, portanto as duas séries convergem e podemos somá-las separadamente.
Fórmula que usaremos: para
,
Uma breve derivação: seja
. Então
. Subtraindo,
, logo
. Subtraindo o termo
obtemos
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula às duas séries separadas.
Primeiro,
Segundo,
Passo 6
Agora recombinamos com os coeficientes que apareceram ao reescrever os termos:
Calculemos
Resposta
A série é a diferença de duas séries geométricas convergentes (não é telescópica).