Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{9 n^{2}+3 n-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Classificar a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{9 n^{2}+3 n-2} como telescópica ou geométrica.
  • Calcular o valor da soma dessa série (se ela convergir).
Informações dadas no enunciado:
\text{Série: }\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{9 n^{2}+3 n-2}.é

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do termo geral para ver sua forma. Observe o denominador:
9n^{2}+3n-2.
Fatorando esse polinômio (buscando fatores lineares em n), notamos que
9n^{2}+3n-2=(3n-1)(3n+2).
Logo o termo geral pode ser reescrito como
\frac{3}{9n^{2}+3n-2}=\frac{3}{(3n-1)(3n+2)}.

Passo 3

Agora tentamos decompor esse fator racional em frações parciais do tipo
\frac{3}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{A}{3n-1}+\frac{B}{3n+2},
porque essa forma costuma produzir séries telescópicas (diferenças entre termos consecutivos). Para encontrar A\) e \(B\) multiplicamos ambos os lados por \((3n-1)(3n+2)\): \[3 = A(3n+2) + B(3n-1).
Organizando em termos de n,
3 = (3A+3B)n + (2A - B).
Como essa identidade vale para todo n, igualamos coeficientes:
\begin{cases} 3A+3B = 0,\\[4pt] 2A - B = 3. \end{cases}
Da primeira equação vem A+B=0\], isto é \(B=-A. Substituindo na segunda:
2A - (-A)=3 \implies 3A=3 \implies A=1.
Logo B=-1. Portanto a decomposição é
\frac{3}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}.]

Passo 4

Reescrevendo a série com essa decomposição, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{9n^{2}+3n-2} =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right).
Esta é uma soma de termos que se apresentam como diferença de duas frações com índices deslocados — isso é exatamente o padrão de uma série telescópica: muitos termos internos se cancelam quando somamos vários primeiros termos.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right) e mostrar o cancelamento explícito. Escrevendo alguns primeiros termos:
\begin{aligned} n=1:&\quad \frac{1}{2}-\frac{1}{5},\\\ n=2:&\quad \frac{1}{5}-\frac{1}{8},\\\ n=3:&\quad \frac{1}{8}-\frac{1}{11},\\\ &\\ \vdots\\\ n=N:&\quad \frac{1}{3N-1}-\frac{1}{3N+2}. \end{aligned}
Agora somando essas N parcelas, todos os termos intermediários \frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11},\dots,\frac{1}{3N-1} aparecem uma vez positiva e uma vez negativa, e portanto se cancelam. Resta apenas o primeiro pedaço positivo e o último pedaço negativo:
S_{N}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3N+2}.

Passo 6

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando N\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)=\lim_{N\to\infty} S_{N} =\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3N+2}\right).
Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{3N+2}=0, segue que
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Conclusões finais e justificativa da classificação:
  • A série não é geométrica porque seus termos não têm a forma \text{const}\cdot r^{n} (não são potências com razão constante).
  • A série é telescópica, pois seu termo geral foi escrito como diferença de duas frações cujos termos se cancelam em somas parciais, e isso nos permitiu calcular a soma exata.

Resposta

Telescópica
\tfrac{1}{2}

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