Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar a série
como telescópica ou geométrica. - Calcular o valor da soma dessa série (se ela convergir).
Informações dadas no enunciado:
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do termo geral para ver sua forma. Observe o denominador:
Fatorando esse polinômio (buscando fatores lineares em
), notamos que
Logo o termo geral pode ser reescrito como
Passo 3
Agora tentamos decompor esse fator racional em frações parciais do tipo
porque essa forma costuma produzir séries telescópicas (diferenças entre termos consecutivos). Para encontrar
Organizando em termos de
,
Como essa identidade vale para todo
, igualamos coeficientes:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Logo
. Portanto a decomposição é
Passo 4
Reescrevendo a série com essa decomposição, temos
Esta é uma soma de termos que se apresentam como diferença de duas frações com índices deslocados — isso é exatamente o padrão de uma série telescópica: muitos termos internos se cancelam quando somamos vários primeiros termos.
Passo 5
Vamos calcular a soma parcial
e mostrar o cancelamento explícito. Escrevendo alguns primeiros termos:
Agora somando essas
parcelas, todos os termos intermediários
aparecem uma vez positiva e uma vez negativa, e portanto se cancelam. Resta apenas o primeiro pedaço positivo e o último pedaço negativo:
Passo 6
Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando
:
Como
, segue que
Passo 7
Conclusões finais e justificativa da classificação:
- A série não é geométrica porque seus termos não têm a forma
(não são potências com razão constante). - A série é telescópica, pois seu termo geral foi escrito como diferença de duas frações cujos termos se cancelam em somas parciais, e isso nos permitiu calcular a soma exata.
Resposta
Telescópica