Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a série e calcular sua soma. A série dada é
Informações relevantes: o somatório começa em
e o termo genérico é
. Não há outra figura ou tabela; tudo o que precisamos está nesta expressão.
Passo 2
Vamos escolher um método. Para decidir entre “geométrica” e “telescópica” observamos a forma do termo geral. Uma série geométrica tem termo da forma
(ou
), ou seja, razões constantes entre termos consecutivos. Aqui o termo é uma função racional em
(fração com polinômios em
), não é da forma
. Portanto a série não é geométrica. A aparência com fatores
no denominador sugere que uma decomposição em frações parciais pode transformar o termo em diferenças que se cancelam — comportamento típico de séries telescópicas. Por isso escolhemos o método de frações parciais para tentar obter o telescoping.
Passo 3
Breve explicação do que é uma série telescópica (didática): se conseguimos escrever o termo geral como diferença de dois termos consecutivos de uma sequência, ou soma de diferenças que se cancelam, então a soma parcial
colapsa para poucos termos remanescentes (normalmente o primeiro menos o último
). Esse colapso facilita o cálculo do limite quando
.
colapsa para poucos termos remanescentes (normalmente o primeiro
Passo 4
Aplicamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Usamos valores convenientes e comparação de coeficientes para achar
.
Colocando
na identidade:
Colocando
(a identidade vale como polinômio):
Agora expandimos os termos (ou comparamos coeficientes): ao expandir obtemos para os coeficientes dos diversos graus de
:
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
termo constante: (já usado).
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
termo constante:
Substituindo
e
na equação do coeficiente de
:
Mas da equação de
temos
. Substituindo em
dá
então
. Logo
.
Resumindo:
Passo 5
Com esses valores a decomposição fica muito simples:
Isto é exatamente uma forma telescópica, pois cada termo é a diferença entre
e
.
Agora calculamos a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último negativo, então
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Como
segue que a soma infinita vale
Resposta
Telescópica