Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a série e calcular sua soma. A série dada é
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Informações relevantes: o somatório começa em n=2 e o termo genérico é \dfrac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}. Não há outra figura ou tabela; tudo o que precisamos está nesta expressão.

Passo 2

Vamos escolher um método. Para decidir entre “geométrica” e “telescópica” observamos a forma do termo geral. Uma série geométrica tem termo da forma \;a\cdot q^{n}\; (ou \;a\cdot q^{n-1}\;), ou seja, razões constantes entre termos consecutivos. Aqui o termo é uma função racional em n (fração com polinômios em n), não é da forma a q^n. Portanto a série não é geométrica. A aparência com fatores n^{2}(n+1)^{2} no denominador sugere que uma decomposição em frações parciais pode transformar o termo em diferenças que se cancelam — comportamento típico de séries telescópicas. Por isso escolhemos o método de frações parciais para tentar obter o telescoping.

Passo 3

Breve explicação do que é uma série telescópica (didática): se conseguimos escrever o termo geral como diferença de dois termos consecutivos de uma sequência, ou soma de diferenças que se cancelam, então a soma parcial
\sum_{n=2}^{N} (a_n - a_{n+1})
colapsa para poucos termos remanescentes (normalmente o primeiro a_2 menos o último a_{N+1}). Esse colapso facilita o cálculo do limite quando N\to\infty.

Passo 4

Aplicamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C,D tais que, para todo n,
\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2} obtemos a identidade polinomial
2n+1 = A\,n(n+1)^{2} + B (n+1)^{2} + C\,n^{2}(n+1) + D\,n^{2}.
Usamos valores convenientes e comparação de coeficientes para achar A,B,C,D.
Colocando n=0 na identidade:
1 = B\cdot 1^{2} \quad\Rightarrow\quad B=1.
Colocando n=-1 (a identidade vale como polinômio):
2(-1)+1 = -1 = D\cdot (-1)^{2} \quad\Rightarrow\quad D=-1.
Agora expandimos os termos (ou comparamos coeficientes): ao expandir obtemos para os coeficientes dos diversos graus de n:
coeficiente de n^{3}: A+C=0,
coeficiente de n^{2}: 2A+B+C+D=0,
coeficiente de n: A+2B=2,
termo constante: B=1 (já usado).
Substituindo B=1 e D=-1 na equação do coeficiente de n^{2}:
2A + 1 + C -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2A + C = 0.
Mas da equação de n^{3} temos C=-A. Substituindo em 2A+C=0 2A - A = 0 então A=0. Logo C=-A=0.
Resumindo:
A=0,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-1.

Passo 5

Com esses valores a decomposição fica muito simples:
\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Isto é exatamente uma forma telescópica, pois cada termo é a diferença entre \dfrac{1}{n^{2}} e \dfrac{1}{(n+1)^{2}}.
Agora calculamos a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right)+\left(\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{5^{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}\right).
Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último negativo, então
S_{N}=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{(N+1)^{2}}.

Passo 6

Tomamos o limite quando N\to\infty. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(N+1)^{2}}=0,
segue que a soma infinita vale
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{4}.

Resposta

Telescópica
\displaystyle \frac{1}{4}

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