Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{2}{(4 n-3)(4 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) classificar a série dada como “telescópica” ou “geométrica” e (2) calcular o valor da soma. A série dada é
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{2}{(4n-3)(4n+1)}.
Informações relevantes: o somatório começa em n=3 e vai até +\infty; o termo geral é \dfrac{2}{(4n-3)(4n+1)}. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a série é geométrica. Uma série é geométrica quando o termo geral tem a forma ar^{n} (ou ar^{n-n_0}) e a razão entre termos consecutivos é constante: isto é, a_{n+1}/a_n deve ser independente de n. Aqui o termo geral é \dfrac{2}{(4n-3)(4n+1)}. Se tentarmos formar \dfrac{a_{n+1}}{a_n} veremos que depende de n (não é uma constante), logo a série não é geométrica.
Como o termo é uma fração racional em n com produto de dois fatores lineares no denominador, uma estratégia natural é decompor em frações simples (partial fractions). Essa decomposição frequentemente transforma o termo geral em uma diferença de frações que se cancelam quando somamos vários termos — é o comportamento típico de uma série telescópica. Portanto vamos tentar a decomposição em frações simples para procurar o efeito telescópico.

Passo 3

Vamos fazer a decomposição em frações simples. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{A}{4n-3}+\frac{B}{4n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1) obtemos a igualdade entre polinômios em n:
2 = A(4n+1)+B(4n-3).
Agrupando termos em n e termos constantes:
2 = 4(A+B)\,n + (A-3B).
Como os dois lados devem ser iguais para todo n, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear
4(A+B)=0 \quad\text{e}\quad A-3B=2.
Da primeira equação vem A+B=0, ou seja B=-A. Substituindo na segunda:
A-3(-A)=A+3A=4A=2 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Então B=-\tfrac{1}{2}. Portanto a decomposição é
\frac{2}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\right).

Passo 4

Agora que temos o termo como diferença de duas frações, escrevemos alguns termos da série para ver o telescópico. O termo geral é
a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\right).
Para n=3:
a_3=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\cdot3-3}-\frac{1}{4\cdot3+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{13}\right).
Para n=4:
a_4=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{17}\right).
Para n=5:
a_5=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{17}-\frac{1}{21}\right).
Repare que o -\dfrac{1}{13} de a_3 cancela com o +\dfrac{1}{13} de a_4; o -\dfrac{1}{17} de a_4 cancela com o +\dfrac{1}{17} de a_5; e assim por diante. Esse é exatamente o efeito telescópico: muitos termos intermediários se cancelam quando somamos uma sequência de termos.

Passo 5

Vamos escrever a soma parcial S_N da série, somando de n=3 até n=N:
S_N=\sum_{n=3}^{N} a_n=\frac{1}{2}\sum_{n=3}^{N}\left(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\right).
Pelo padrão de cancelamento mostrado, todos os termos internos se anulam, sobrando apenas o primeiro positivo (quando n=3) e o último negativo (quando n=N). Assim
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4\cdot3-3}-\frac{1}{4N+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{4N+1}\right).
Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Como \dfrac{1}{4N+1}\to 0, segue que a soma infinita converge e
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{(4n-3)(4n+1)}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}.

Passo 6

Resumo prático do que fizemos (tipo checklist para a prova): (1) tente sempre identificar se o termo pode ser escrito como diferença de frações simples — isso indica telescópico; (2) faça a decomposição por frações parciais resolvendo um pequeno sistema linear; (3) escreva alguns termos para ver o cancelamento e formule a soma parcial S_N; (4) calcule o limite de S_N. Você pode repetir esse procedimento em exercícios parecidos — por exemplo, séries com termo \dfrac{1}{(n+a)(n+b)} frequentemente telescopam após decomposição.

Resposta

Telescópica.
\dfrac{1}{18}

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