Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) classificar a série dada como “telescópica” ou “geométrica” e (2) calcular o valor da soma. A série dada é
Informações relevantes: o somatório começa em
e vai até
; o termo geral é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se a série é geométrica. Uma série é geométrica quando o termo geral tem a forma
(ou
) e a razão entre termos consecutivos é constante: isto é,
deve ser independente de
. Aqui o termo geral é
. Se tentarmos formar
veremos que depende de
(não é uma constante), logo a série não é geométrica.
Como o termo é uma fração racional em
com produto de dois fatores lineares no denominador, uma estratégia natural é decompor em frações simples (partial fractions). Essa decomposição frequentemente transforma o termo geral em uma diferença de frações que se cancelam quando somamos vários termos — é o comportamento típico de uma série telescópica. Portanto vamos tentar a decomposição em frações simples para procurar o efeito telescópico.
Passo 3
Vamos fazer a decomposição em frações simples. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a igualdade entre polinômios em
:
Agrupando termos em
e termos constantes:
Como os dois lados devem ser iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear
Da primeira equação vem
, ou seja
. Substituindo na segunda:
Então
. Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora que temos o termo como diferença de duas frações, escrevemos alguns termos da série para ver o telescópico. O termo geral é
Para
:
Para
:
Para
:
Repare que o
de
cancela com o
de
; o
de
cancela com o
de
; e assim por diante. Esse é exatamente o efeito telescópico: muitos termos intermediários se cancelam quando somamos uma sequência de termos.
Passo 5
Vamos escrever a soma parcial
da série, somando de
até
:
Pelo padrão de cancelamento mostrado, todos os termos internos se anulam, sobrando apenas o primeiro positivo (quando
) e o último negativo (quando
). Assim
Agora tomamos o limite quando
. Como
, segue que a soma infinita converge e
Passo 6
Resumo prático do que fizemos (tipo checklist para a prova): (1) tente sempre identificar se o termo pode ser escrito como diferença de frações simples — isso indica telescópico; (2) faça a decomposição por frações parciais resolvendo um pequeno sistema linear; (3) escreva alguns termos para ver o cancelamento e formule a soma parcial
; (4) calcule o limite de
. Você pode repetir esse procedimento em exercícios parecidos — por exemplo, séries com termo
frequentemente telescopam após decomposição.
Resposta
Telescópica.