A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{5}+2 n-1}{n^{5}-2 n^{2}-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{5}+2 n-1}{n^{5}-2 n^{2}-3}\right).
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n^{5}+2 n-1}{n^{5}-2 n^{2}-3}.
  • A soma é indexada por n=1,2,3,\dots até infinito.
  • Não há outras informações (como valor numérico dos termos iniciais) necessárias para começar a análise.

Passo 2

Explicação da ferramenta principal que vamos usar (teste do termo geral): para que uma série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converja é necessário (condição necessária) que os termos a_n tendam a zero quando n\to\infty. Isto é, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
então a série diverge. Observação importante: o recíproco não vale — se a_n\to 0 a série pode até divergir (ex.: série harmônica), mas se a_n não tende a zero, a série certamente diverge.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral a_n. A técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente, que aqui é n^{5}. Assim,
a_n=\frac{n^{5}+2 n-1}{n^{5}-2 n^{2}-3} =\frac{\dfrac{n^{5}}{n^{5}}+\dfrac{2n}{n^{5}}-\dfrac{1}{n^{5}}}{\dfrac{n^{5}}{n^{5}}-\dfrac{2n^{2}}{n^{5}}-\dfrac{3}{n^{5}}} =\frac{1+\dfrac{2}{n^{4}}-\dfrac{1}{n^{5}}}{1-\dfrac{2}{n^{3}}-\dfrac{3}{n^{5}}}.
Agora avaliamos o limite quando n\to\infty. Para k>0 temos \dfrac{1}{n^{k}}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1+0-0}{1-0-0}=1.
Conclusão: o termo geral tende a 1, ou seja
\lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0.

Passo 4

Aplicando o teste do termo geral explicado no Passo 2: como \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
não pode convergir. Portanto a série diverge.
Complemento didático curto (para você levar para a prova): uma forma alternativa, mais construtiva, é notar que para n suficientemente grande a_n fica, por exemplo, maior que 1/2. Assim a soma dos termos a partir de algum índice N é maior que \sum_{n=N}^{\infty} \tfrac{1}{2}, que diverge. Isso reforça que a soma original diverge para +\infty.

Resposta

A série diverge.

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