A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede para decidir sobre a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é indexada por
até infinito. - Não há outras informações (como valor numérico dos termos iniciais) necessárias para começar a análise.
Passo 2
Explicação da ferramenta principal que vamos usar (teste do termo geral): para que uma série
converja é necessário (condição necessária) que os termos
tendam a zero quando
. Isto é, se
então a série diverge. Observação importante: o recíproco não vale — se
a série pode até divergir (ex.: série harmônica), mas se
não tende a zero, a série certamente diverge.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. A técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, que aqui é
. Assim,
Agora avaliamos o limite quando
. Para
temos
. Portanto
Conclusão: o termo geral tende a
, ou seja
Passo 4
Aplicando o teste do termo geral explicado no Passo 2: como
, a série
não pode convergir. Portanto a série diverge.
Complemento didático curto (para você levar para a prova): uma forma alternativa, mais construtiva, é notar que para
suficientemente grande
fica, por exemplo, maior que
. Assim a soma dos termos a partir de algum índice
é maior que
, que diverge. Isso reforça que a soma original diverge para
.
Resposta
A série diverge.