Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} 5 \ln \left[\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a série como telescópica ou geométrica, e calcular o valor da soma (se convergir). A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} 5 \ln\left[\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}\right].
Informações relevantes que temos:
\; - o índice n começa em \; \!1 e vai até \; \!+\infty;
\; - o termo geral é \; 5 \ln\left[\dfrac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}\right].
Nenhuma figura ou tabela é necessária. A tarefa agora é manipular esse termo geral, ver que tipo de série é e calcular a soma quando possível.

Passo 2

Primeiro vamos rever duas propriedades básicas dos logaritmos (super importantes aqui). Sejam a>0, b>0 e k número real, então:
\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b,
\ln(a^{k})=k\ln a.
Essas fórmulas são fáceis de entender: a primeira diz que dividir dentro do log vira subtração fora; a segunda que potência dentro do log vira multiplicação do log. Um exemplo simples: \ln\left(\dfrac{4}{2}\right)=\ln 4-\ln 2 e \ln(3^{2})=2\ln 3.

Passo 3

Aplicando essas propriedades ao termo geral da série, escrevemos:
5 \ln\left[\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}\right] =5\left(\ln\big((n+1)^{2}\big)-\ln\big(n(n+2)\big)\right).
Usando \ln((n+1)^{2})=2\ln(n+1) e \ln(n(n+2))=\ln n + \ln(n+2), obtemos
\text{termo}_n = 5\big(2\ln(n+1)-\ln n - \ln(n+2)\big).

Passo 4

Agora uma observação importante sobre somas de expressões do tipo 2\ln(n+1)-\ln n-\ln(n+2): quando somamos termos em n consecutivos muitas parcelas semelhantes aparecem com sinais opostos e se cancelam — é o fenômeno do telescópio. Vou mostrar explicitamente somando os primeiros termos parciais para ver o padrão.

Passo 5

Considere a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}5\big(2\ln(n+1)-\ln n - \ln(n+2)\big).
Podemos separar as somas:
S_{N}=5\left(2\sum_{n=1}^{N}\ln(n+1)-\sum_{n=1}^{N}\ln n - \sum_{n=1}^{N}\ln(n+2)\right).
Escrevendo explicitamente essas somas (para enxergar os termos que se cancelam):
\sum_{n=1}^{N}\ln n = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln N,
\sum_{n=1}^{N}\ln(n+1) = \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln(N+1),
\sum_{n=1}^{N}\ln(n+2) = \ln 3 + \ln 4 + \cdots + \ln(N+2).
Multiplicando a segunda por 2 e combinando com as outras duas, para cada k entre 3 e N aparecem os coeficientes 2 (de 2\ln k), -1 (de -\ln k na soma \sum\ln n) e -1 (de -\ln k na soma \sum\ln(n+2)), ou seja 2-1-1=0: esses termos se cancelam. Restam apenas os termos das extremidades. Fazendo essa contagem cuidadosamente obtemos
2\sum_{n=1}^{N}\ln(n+1)-\sum_{n=1}^{N}\ln n - \sum_{n=1}^{N}\ln(n+2) = -\ln 1 + \ln 2 + \ln(N+1) - \ln(N+2).
Como \ln 1 = 0, isto simplifica para
\ln 2 + \ln(N+1) - \ln(N+2).
Portanto
S_{N}=5\big(\ln 2 + \ln(N+1) - \ln(N+2)\big).

Passo 6

Podemos juntar os logaritmos restantes usando \ln a + \ln b = \ln(ab) e \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right). Assim
S_{N}=5\ln\left(\frac{2(N+1)}{N+2}\right).
Agora calculamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}\frac{2(N+1)}{N+2} = 2\cdot\lim_{N\to\infty}\frac{N+1}{N+2}=2\cdot 1 = 2,
pois \dfrac{N+1}{N+2}\to 1. Logo
\lim_{N\to\infty} S_{N} = 5\ln 2.
A série converge e sua soma é 5\ln 2.

Passo 7

Resumo didático curto: escrevemos o termo geral em forma de diferença de logaritmos; ao somar os termos, a maioria dos logaritmos cancela (efeito telescópio), sobrando apenas termos nas extremidades que dão a expressão fechada para a soma parcial; o limite da soma parcial dá o valor final. Força aí — você já viu a técnica importante (telescópica) e agora pode aplicar com confiança.

Resposta

Telescópica
5\ln 2

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