Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a série como telescópica ou geométrica, e calcular o valor da soma (se convergir). A série dada é
Informações relevantes que temos:
- o índice
começa em
e vai até
;
- o termo geral é
.
Nenhuma figura ou tabela é necessária. A tarefa agora é manipular esse termo geral, ver que tipo de série é e calcular a soma quando possível.
Nenhuma figura ou tabela é necessária. A tarefa agora é manipular esse termo geral, ver que tipo de série é e calcular a soma quando possível.
Passo 2
Primeiro vamos rever duas propriedades básicas dos logaritmos (super importantes aqui). Sejam
,
e
número real, então:
Essas fórmulas são fáceis de entender: a primeira diz que dividir dentro do log vira subtração fora; a segunda que potência dentro do log vira multiplicação do log. Um exemplo simples:
e
.
Passo 3
Aplicando essas propriedades ao termo geral da série, escrevemos:
Usando
e
, obtemos
Passo 4
Agora uma observação importante sobre somas de expressões do tipo
: quando somamos termos em
consecutivos muitas parcelas semelhantes aparecem com sinais opostos e se cancelam — é o fenômeno do telescópio. Vou mostrar explicitamente somando os primeiros termos parciais para ver o padrão.
Passo 5
Considere a soma parcial até
:
Podemos separar as somas:
Escrevendo explicitamente essas somas (para enxergar os termos que se cancelam):
Multiplicando a segunda por
e combinando com as outras duas, para cada
entre
e
aparecem os coeficientes
(de
),
(de
na soma
) e
(de
na soma
), ou seja
: esses termos se cancelam. Restam apenas os termos das extremidades. Fazendo essa contagem cuidadosamente obtemos
Como
, isto simplifica para
Portanto
Passo 6
Podemos juntar os logaritmos restantes usando
e
. Assim
Agora calculamos o limite quando
:
pois
. Logo
A série converge e sua soma é
.
Passo 7
Resumo didático curto: escrevemos o termo geral em forma de diferença de logaritmos; ao somar os termos, a maioria dos logaritmos cancela (efeito telescópio), sobrando apenas termos nas extremidades que dão a expressão fechada para a soma parcial; o limite da soma parcial dá o valor final. Força aí — você já viu a técnica importante (telescópica) e agora pode aplicar com confiança.
Resposta
Telescópica