ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma. \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado apresenta a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
O que nos pedem:
Classificar se a série é telescópica ou série geométrica.
Calcular o valor da soma (se convergir).
Informações dadas e relevantes: O termo geral é \left(\frac{2}{3}\right)^{n}. A soma é tomada de n=0 até +\infty.
Passo 2
O que é uma série telescópica (explicação didática)?\n
Uma série é dita telescópica quando o termo geral pode ser escrito como diferença de dois termos consecutivos, por exemplo
u_n = v_n - v_{n+1},
de modo que, ao somar os primeiros N termos, muitos termos se cancelam (telescopam) e a soma parcial fica reduzida a poucos termos de extremidade. Exemplo simples:
Observação: para identificar telescopia procuramos uma escrita do tipo a_n=b_n-b_{n+1}.
Aplicando isso à nossa série: o termo \left(\frac{2}{3}\right)^{n} não está escrito como diferença de duas coisas consecutivas no índice n. Portanto, à primeira vista, não é telescópica.
Passo 3
O que é uma série geométrica (explicação didática)?\n
Uma série geométrica tem termos da forma
a r^{n}\quad\text{ou}\quad a r^{n-1},
onde a é a primeira razão (primeiro termo) e r é a razão comum. As somas parciais até N obedecem à fórmula (você vai usar isso muito em provas):