Classifique as séries abaixo como telescópica
1
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
O que nos pedem:
  1. Classificar se a série é telescópica ou série geométrica.
  2. Calcular o valor da soma (se convergir).
Informações dadas e relevantes:
O termo geral é \left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
A soma é tomada de n=0 até +\infty.

Passo 2

O que é uma série telescópica (explicação didática)?\n
Uma série é dita telescópica quando o termo geral pode ser escrito como diferença de dois termos consecutivos, por exemplo
u_n = v_n - v_{n+1},
de modo que, ao somar os primeiros N termos, muitos termos se cancelam (telescopam) e a soma parcial fica reduzida a poucos termos de extremidade. Exemplo simples:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}.
Observação: para identificar telescopia procuramos uma escrita do tipo a_n=b_n-b_{n+1}.
Aplicando isso à nossa série: o termo \left(\frac{2}{3}\right)^{n} não está escrito como diferença de duas coisas consecutivas no índice n. Portanto, à primeira vista, não é telescópica.

Passo 3

O que é uma série geométrica (explicação didática)?\n
Uma série geométrica tem termos da forma
a r^{n}\quad\text{ou}\quad a r^{n-1},
onde a é a primeira razão (primeiro termo) e r é a razão comum. As somas parciais até N obedecem à fórmula (você vai usar isso muito em provas):
S_N = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\quad\text{se }r\neq 1.
Derivação curta dessa fórmula (método padrão): escreva
S_N = a + ar + ar^{2}+\cdots + ar^{N}.
Multiplique por r:
rS_N = ar + ar^{2}+\cdots + ar^{N}+ar^{N+1}.
Subtraindo as duas expressões:
S_N - rS_N = a - ar^{N+1},
logo
S_N(1-r)=a(1-r^{N+1}),
e daí vem
S_N = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Condição de convergência: se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0 e a soma infinita converge para
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge.

Passo 4

Identificação dos parâmetros no nosso caso e aplicação da fórmula\n
Comparando o termo \left(\frac{2}{3}\right)^{n} com a r^{n}, temos
a=1,\qquad r=\frac{2}{3}.
Então a soma parcial é
S_N = 1\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{N+1}}{1-\frac{2}{3}}.
Calcule o denominador:
1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Portanto
S_N = \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{N+1}}{\tfrac{1}{3}} = 3\!\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{N+1}\right).

Passo 5

Passagem ao limite e conclusão da soma\n
Observação importante: \left|\frac{2}{3}\right|<1, então
\lim_{N\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{N+1}=0.
Logo
\lim_{N\to\infty}S_N = 3\left(1-0\right)=3.
Portanto a série converge e sua soma é \;3.

Passo 6

Resumo final da classificação (pra você levar pra prova)\n
  • A série não é telescópica, porque seu termo geral não é uma diferença v_n-v_{n+1} que causaria cancelamentos.
  • A série é uma série geométrica com a=1 e r=\tfrac{2}{3}, com |r|<1, então converge e a soma é \;3.

Resposta

Geométrica.
Soma: 3

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