Classifique as séries como convergentes ou divergentes justificando sua resposta:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
ou seja, decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula do termo geral é
. - Note que o denominador
se anula quando , porque .
O objetivo é justificar se a série é convergente ou divergente.
Passo 2
Primeira observação importante sobre convergência de séries (aula rápida e prática).
- Para que uma série
faça sentido e possa convergir, cada termo precisa ser um número finito: só assim os somatórios parciais são bem definidos. - Aqui, para
o termo fica
ou seja,
não é um número finito (é indefinido / “infinito”). Logo os somatórios parciais que incluem o segundo termo não existem.
Conclusão imediata: tal como a série está escrita (com índice começando em ), ela não é uma série bem-definida porque contém um termo indefinido, portanto não converge — a única conclusão correta é que a série diverge/é mal-definida.
Conclusão imediata: tal como a série está escrita (com índice começando em
Passo 3
Situação prática — e o que costuma ser a intenção em exercícios: muitas vezes o autor queria a soma começando em
(ou em
tal que o denominador não seja zero). Vou analisar também essa versão natural: a série modificada
pois aí todos os termos são bem definidos. Primeiro vamos manipular o termo geral para ver uma técnica útil (frações parciais e telescópico).
Passo 4
Decomposição em frações parciais (explicando passo a passo).
- Fatoramos o denominador:
. - Procuramos constantes
tais que
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Agrupando termos em
: . - Igualando coeficientes (polinômios idênticos):
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
- Coeficiente de
- Da primeira equação
. Substituindo na segunda: → → . Então . - Logo a decomposição é
Passo 5
Somatório parcial e telescopagem (mostrar cancelamentos).
- Considere a soma parcial até
:
- Escrevendo as duas somas separadamente:
e
- Subtraindo, muitos termos se cancelam; fica
- Multiplicando por
dá a soma parcial:
Passo 6
Passando ao limite
.
- Os termos
tendem a quando . - Portanto a soma infinita (caso com
começando em ) converge para
- Calculemos esse valor:
Multiplicando por
obtemos
- Observação adicional: todos os termos para
são positivos, então a convergência é absoluta e a soma acima é a soma real da série.
Passo 7
Resumo e interpretação final (tom de amigo e incentivo).
- Se você interpretar literalmente a série como começando em
, há um problema: o termo com é indefinido, portanto a série como dada não está bem definida e, na prática, diverge / não existe. - Se a intenção do exercício era a forma natural sem o termo singular (isto é, começar em
), então a série converge e a soma é . Bom trabalho por perceber o detalhe do denominador! Isso costuma pegar muita gente em prova — olhar sempre onde o denominador zera.
Resposta
A série dada com início em
diverge (não está bem definida porque
é indefinido).
Se a série for entendida como a partir de , então ela converge e
Se a série for entendida como a partir de