Classifique as séries como convergentes ou divergentes justificando sua resposta:
b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-4}
ou seja, decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula do termo geral é \displaystyle a_n=\frac{2}{n^{2}-4}.
  • Note que o denominador n^{2}-4 se anula quando n=2, porque 2^{2}-4=0.
    O objetivo é justificar se a série é convergente ou divergente.

Passo 2

Primeira observação importante sobre convergência de séries (aula rápida e prática).
  • Para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n faça sentido e possa convergir, cada termo a_n precisa ser um número finito: só assim os somatórios parciais são bem definidos.
  • Aqui, para n=2 o termo fica
a_2=\frac{2}{2^{2}-4}=\frac{2}{0},
ou seja, a_2 não é um número finito (é indefinido / “infinito”). Logo os somatórios parciais que incluem o segundo termo não existem.
Conclusão imediata: tal como a série está escrita (com índice começando em n=1), ela não é uma série bem-definida porque contém um termo indefinido, portanto não converge — a única conclusão correta é que a série diverge/é mal-definida.

Passo 3

Situação prática — e o que costuma ser a intenção em exercícios: muitas vezes o autor queria a soma começando em n=3 (ou em n tal que o denominador não seja zero). Vou analisar também essa versão natural: a série modificada
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-4},
pois aí todos os termos são bem definidos. Primeiro vamos manipular o termo geral para ver uma técnica útil (frações parciais e telescópico).

Passo 4

Decomposição em frações parciais (explicando passo a passo).
  • Fatoramos o denominador: n^{2}-4=(n-2)(n+2).
  • Procuramos constantes A,B tais que
\frac{2}{(n-2)(n+2)}=\frac{A}{n-2}+\frac{B}{n+2}.
  • Multiplicando ambos os lados por (n-2)(n+2) obtemos
2 = A(n+2)+B(n-2).
  • Agrupando termos em n: 2 = (A+B)n + (2A-2B).
  • Igualando coeficientes (polinômios idênticos):
    • Coeficiente de n: A+B=0.
    • Termo constante: 2A-2B=2.
  • Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda: 2A-2(-A)=2 4A=2 A=\tfrac{1}{2}. Então B=-\tfrac{1}{2}.
  • Logo a decomposição é
\frac{2}{n^{2}-4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}\right).

Passo 5

Somatório parcial e telescopagem (mostrar cancelamentos).
  • Considere a soma parcial até N:
S_N=\sum_{n=3}^{N}\frac{2}{n^{2}-4}=\frac{1}{2}\sum_{n=3}^{N}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}\right).
  • Escrevendo as duas somas separadamente:
\sum_{n=3}^{N}\frac{1}{n-2}=\sum_{j=1}^{N-2}\frac{1}{j}
e
\sum_{n=3}^{N}\frac{1}{n+2}=\sum_{k=5}^{N+2}\frac{1}{k}.
  • Subtraindo, muitos termos se cancelam; fica
\sum_{n=3}^{N}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right).
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} dá a soma parcial:
S_N=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).

Passo 6

Passando ao limite N\to\infty.
  • Os termos \dfrac{1}{N-1},\dfrac{1}{N},\dfrac{1}{N+1},\dfrac{1}{N+2} tendem a 0 quando N\to\infty.
  • Portanto a soma infinita (caso com n começando em 3) converge para
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right).
  • Calculemos esse valor:
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{12+6+4+3}{12}=\frac{25}{12}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-4}=\frac{25}{24}.
  • Observação adicional: todos os termos para n\ge 3 são positivos, então a convergência é absoluta e a soma acima é a soma real da série.

Passo 7

Resumo e interpretação final (tom de amigo e incentivo).
  • Se você interpretar literalmente a série como começando em n=1, há um problema: o termo com n=2 é indefinido, portanto a série como dada não está bem definida e, na prática, diverge / não existe.
  • Se a intenção do exercício era a forma natural sem o termo singular (isto é, começar em n=3), então a série converge e a soma é \tfrac{25}{24}. Bom trabalho por perceber o detalhe do denominador! Isso costuma pegar muita gente em prova — olhar sempre onde o denominador zera.

Resposta

A série dada com início em n=1 diverge (não está bem definida porque a_2 é indefinido).
Se a série for entendida como a partir de n=3, então ela converge e
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-4}=\frac{25}{24}.

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