Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. |x|<1 \quad|x|<1
(a) f(x)=\frac{3}{1-x^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Dado: a função f definida por f(x)=\dfrac{3}{1-x^{2}}.
  • Condição do enunciado: |x|<1.
  • Pedidos:
    1. Encontrar uma representação em série de potências (em torno de 0) para f(x).
    2. Determinar o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Lembrete fundamental que vou usar (fórmula da série geométrica). Para qualquer número complexo u com |u|<1 vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty} u^{n}.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo): considere a soma parcial
S_N=\sum_{n=0}^{N} u^{n}=1+u+u^{2}+\cdots+u^{N}.
Multiplicando por (1-u) obtém-se
(1-u)S_N=1-u^{N+1}.
Logo
S_N=\frac{1-u^{N+1}}{1-u}.
Se |u|<1, então u^{N+1}\to0 quando N\to\infty, portanto S_N\to\dfrac{1}{1-u}. Assim a série infinita converge e sua soma é \dfrac{1}{1-u}.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima ao caso u=x^{2}. Como o enunciado já afirma |x|<1, temos |x^{2}|<1, então é permitido substituir.
Pela fórmula geométrica:
\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos a série procurada para f(x):
f(x)=\frac{3}{1-x^{2}}=3\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} 3\,x^{2n}.
Explicando a forma: esta é uma série de potências em torno de 0 que contém apenas potências pares de x. Ou seja, os coeficientes da série em potência de x são
a_{2n}=3\quad\text{e}\quad a_{2n+1}=0\quad\text{para }n\ge0.

Passo 4

Determinar o intervalo (ou raio) de convergência. A série usada converge sempre que |x^{2}|<1, ou seja quando
|x|<1.
Portanto o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).
Para checar os extremos: em x=1 e x=-1 a função f(x) é indefinida (denominador zero) e a série não converge (os termos não tendem a zero: 3\cdot1^{2n}=3). Logo os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 5

Exemplo rápido (útil na prova): para x=\tfrac{1}{2},
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=3\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n}=3\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}= \frac{3}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{3}{\tfrac{3}{4}}=4,
o que confirma que a série dá o valor correto dentro do intervalo de convergência.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}3\,x^{2n}
Intervalo de convergência: (-1,1)

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