Questão 2. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
(a)
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
- Dado: a função
definida por . - Condição do enunciado:
. - Pedidos:
- Encontrar uma representação em série de potências (em torno de 0) para
. - Determinar o intervalo de convergência dessa série.
- Encontrar uma representação em série de potências (em torno de 0) para
Passo 2
Lembrete fundamental que vou usar (fórmula da série geométrica). Para qualquer número complexo
com
vale
Explicando por que isso é verdade (passo a passo): considere a soma parcial
Multiplicando por
obtém-se
Logo
Se
, então
quando
, portanto
. Assim a série infinita converge e sua soma é
.
Passo 3
Aplicando a fórmula acima ao caso
. Como o enunciado já afirma
, temos
, então é permitido substituir.
Pela fórmula geométrica:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a série procurada para
:
Explicando a forma: esta é uma série de potências em torno de
que contém apenas potências pares de
. Ou seja, os coeficientes da série em potência de
são
Passo 4
Determinar o intervalo (ou raio) de convergência. A série usada converge sempre que
, ou seja quando
Portanto o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Para checar os extremos: em
e
a função
é indefinida (denominador zero) e a série não converge (os termos não tendem a zero:
). Logo os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 5
Exemplo rápido (útil na prova): para
,
o que confirma que a série dá o valor correto dentro do intervalo de convergência.
Resposta
Intervalo de convergência: