Questão 1. Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{\cos(n)}{n^{2}}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
    Objetivo: decidir convergência (ou divergência) da série.

Passo 2

Escolha do método: aqui temos um numerador oscilante \cos(n) e um denominador que decresce como n^{2}. Uma abordagem simples e segura é testar convergência absoluta, porque:
  • se a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty} \left|\dfrac{\cos(n)}{n^{2}}\right| converge, então a série original converge (isso se chama convergência absoluta e implica convergência).
    Essa escolha usa ferramentas básicas (teste da comparação e o fato conhecido sobre séries p-com p>1), portanto é prática para prova.

Passo 3

Definição importante (explicada devagar): dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge. Por que isso ajuda? Porque se \sum |a_n| converge, então os somatórios parciais de \sum a_n formam uma sequência de Cauchy (pela desigualdade triangular) e portanto \sum a_n converge. Em linguagem mais simples: controlar os valores absolutos controla os sinais e garante convergência.

Passo 4

Façamos a desigualdade elementar que vai permitir usar comparação:
para todo n vale |\cos(n)|\le 1. Logo
\left|\frac{\cos(n)}{n^{2}}\right| = \frac{|\cos(n)|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Isto mostra que cada termo absoluto da nossa série é menor ou igual ao termo correspondente da série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Agora use o teste da comparação: se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aplicando com
a_n=\left|\frac{\cos(n)}{n^{2}}\right|,\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}},
basta saber que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge. Essa é a clássica série p- com p=2>1, conhecida por convergir. Uma justificativa rápida (pé-de-prova): pelo teste da integral, para f(x)=1/x^{2} (positiva e decrescente em [1,\infty)),
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1<\infty,
portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge. (Além disso, sabe-se que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}, mas não é preciso para concluir convergência.)

Passo 6

Concluímos pela comparação que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos(n)}{n^{2}}\right|
converge (porque é majorada termo a termo pela série convergente \sum \dfrac{1}{n^{2}}). Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(n)}{n^{2}} converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, a série é convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente, logo converge.

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