Questão 1. Determine se a série é convergente ou divergente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente.
Informações dadas:
O termo geral da série é \dfrac{\cos(n)}{n^{2}}.
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Objetivo: decidir convergência (ou divergência) da série.
Passo 2
Escolha do método: aqui temos um numerador oscilante \cos(n) e um denominador que decresce como n^{2}. Uma abordagem simples e segura é testar convergência absoluta, porque:
se a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty} \left|\dfrac{\cos(n)}{n^{2}}\right| converge, então a série original converge (isso se chama convergência absoluta e implica convergência).
Essa escolha usa ferramentas básicas (teste da comparação e o fato conhecido sobre séries p-com p>1), portanto é prática para prova.
Passo 3
Definição importante (explicada devagar): dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge. Por que isso ajuda? Porque se \sum |a_n| converge, então os somatórios parciais de \sum a_n formam uma sequência de Cauchy (pela desigualdade triangular) e portanto \sum a_n converge. Em linguagem mais simples: controlar os valores absolutos controla os sinais e garante convergência.
Passo 4
Façamos a desigualdade elementar que vai permitir usar comparação:
para todo n vale |\cos(n)|\le 1. Logo
basta saber que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge. Essa é a clássica série p- com p=2>1, conhecida por convergir. Uma justificativa rápida (pé-de-prova): pelo teste da integral, para f(x)=1/x^{2} (positiva e decrescente em [1,\infty)),
portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge. (Além disso, sabe-se que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}, mas não é preciso para concluir convergência.)
converge (porque é majorada termo a termo pela série convergente \sum \dfrac{1}{n^{2}}). Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(n)}{n^{2}} converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, a série é convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente, logo converge.