Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
(i)
; (ii)
; (iii)
; (iv)
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Laurent! A questão pede para encontrar a expansão de Laurent das funções dadas em torno de cada uma das suas singularidades e especificar o anel onde essa expansão é válida. Vamos usar conceitos de análise complexa, como séries de Laurent e identificação de singularidades. Precisamos identificar as singularidades de cada função e depois desenvolver a série de Laurent em torno delas, determinando onde cada expansão funciona.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: $ f(z) = \frac{1}{z^{2}(z+i)} $.
Primeiro, identificamos as singularidades. As singularidades são os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero. Aqui, temos $ z = 0 $ (com multiplicidade 2) e $ z = -i $.
Passo 3
Vamos fazer a expansão de Laurent em torno de $ z = 0 $. Para isso, reescrevemos a função de forma que possamos expandir em séries de potências. Podemos escrever:
Usamos a série geométrica $ \frac{1}{1 + w} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n w^n $ válida para $ |w| < 1 $. Aqui, $ w = \frac{z}{i} $, então a série converge quando $ \left| \frac{z}{i} \right| < 1 $, ou seja, $ |z| < 1 $.
Passo 4
Substituindo na série geométrica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos reescrever os termos:
Multiplicando $ \frac{1}{i z^{2}} $:
Sabendo que $ i = \sqrt{-1} $, temos $ i^2 = -1 $, $ i^3 = -i $, $ i^4 = 1 $, e assim por diante.
Passo 6
Substituindo os valores de $ i^n $:
Essa é a expansão de Laurent válida para $ |z| < 1 $.
Resposta
A expansão de Laurent de $ f(z) = \frac{1}{z^{2}(z+i)} $ em torno da singularidade $ z = 0 $ é:
Essa expansão é válida no anel $ 0 < |z| < 1 $.