Classifique as singularidades dos campos.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar e classificar as singularidades (pontos de equilíbrio) do campo vetorial
Informações dadas relevantes:
Tarefas claras: (i) resolver
para obter todos os pontos críticos; (ii) para cada ponto crítico, classificar sua natureza (sela, nó estável/instável, foco/espiral, centro, ou ponto degenerado não-hiperbólico), justificando com linearização e, se necessário, análise não linear.]
Passo 2
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
Da segunda equação temos
, logo
.
Caso
: substituir em
dá
então
ou
. Assim obtemos os pontos
e
.
Caso
: substituir em
dá
então
ou
. Assim obtemos os pontos
(já contado) e
(pois
com
dá
).
Portanto os pontos críticos são
Passo 3
Linearização: calcular a matriz Jacobiana
. As derivadas parciais são
Assim
Regra de classificação (resumo prático):
- Se
→ sela (instável). - Se
e (autovalores reais, mesmo sinal) → nó (estável se , instável se ). - Se
e → foco/espiral (estável se , instável se ). - Se algum autovalor é zero (
ou produto dos autovalores zero) → ponto não-hiperbólico: a linearização não decide totalmente; pode ser necessário análise não-linear (ex.: centro-manifolds).
Aqui
e
.]
Passo 4
Avaliar
em
:
Os autovalores são
e
. Como há um autovalor nulo, o ponto é não-hiperbólico; a linearização por si só não dá a classificação final. Precisamos estudar os termos não-lineares perto da origem.]
Passo 5
Análise não-linear em
via manifold central (intuição e cálculo de ordem baixa). Como o autovalor zero tem autovetor
, a manifold central é tangente ao eixo
. Procuramos a manifold central escrita como
com
e
. A condição invariância da manifold dá
Substituindo as componentes do campo:
Procuramos
até segunda ordem: suponha
. Então
. No lado direito, até ordem
temos
. No lado esquerdo o termo de menor ordem é da ordem
, logo para que a igualdade seja consistente no termo
devemos ter
Portanto
A dinâmica reduzida na manifold central é
Para
pequeno não nulo, temos
, ou seja
decai para
quando
. Juntando isso com a direção associada ao autovalor
(exponencialmente estável), concluímos que a origem atrai trajetórias próximas: é um ponto atrator, isto é, assintoticamente estável, mas é degenerado (não-hiperbólico) porque a convergência na direção central é polinomial (não exponencial). Em linguagem padrão:
é um ponto crítico degenerado, atrator (assintoticamente estável, não-hiperbólico).
Passo 6
Avaliar
em
:
Calcular traço e determinante:
Como
, os autovalores têm sinais opostos e o ponto é uma sela (hiperbólica e instável). Logo
é uma sela.]
Passo 7
Avaliar
em
:
Traço e determinante:
O discriminante é
portanto autovalores complexos com parte real
. Logo
é um foco (espiral) repulsor — instável e hiperbólico.]
Passo 8
Resumo das conclusões (preparando a resposta final): pontos críticos encontrados e suas classificações definitivas: