A ideia: próximo a um ponto fixo o comportamento do campo costuma ser parecido com o do sistema linear dado por J naquele ponto (isto é justificado pelo Teorema de Hartman–Grobman quando as partes reais dos autovalores não são zero — pontos chamados hiperbólicos). Para classificar basta calcular os autovalores de J no ponto e verificar sinal e parte real.
Aqui temos dois autovalores reais de sinais opostos (um positivo e um negativo). Isso significa que o ponto é uma sela (saddle): trajetórias se aproximam ao longo do autovetor correspondente ao autovalor negativo e se afastam ao longo do autovetor do autovalor positivo. Conclusão: (0,-2) é uma sela (hiperbólica).]
Numeração aproximada: -3+\sqrt{3}\approx -1,268 e -3-\sqrt{3}\approx -4,732; ambos negativos e reais. Isso caracteriza um nó (node) estável — todas as trajetórias próximas são atraídas para o ponto quando t\to+\infty. Conclusão: (2,2) é um nó atrativo (nó estável), também chamado “sink” (hiperbólico).]
Como a discriminante é negativa, os autovalores são complexos conjugados. Eles valem
\lambda = \frac{3\pm i\sqrt{3}}{2}.
A parte real é \Re(\lambda)=\dfrac{3}{2}>0, isto é, as soluções do sistema linearizado giram (devido à parte imaginária) e se afastam exponencialmente (devido à parte real positiva). Isso classifica o ponto como um foco/espiral instável (espiral repulsora, ou “unstable spiral” / foco repulsivo). Conclusão: (-1,-1) é um foco/espiral instável (hiperbólico).]
Passo 7
Resumo da razão das classificações e observação final:
Em cada ponto calculámos a jacobiana, obtivemos autovalores e usamos o sinal da parte real / natureza (real distinto / complexo) para decidir:
autovalores reais com sinais opostos → sela;
autovalores reais ambos negativos → nó estável (sink);
autovalores complexos com parte real positiva → foco/espiral instável (source).
Todos os três pontos são hiperbólicos (nenhum autovalor tem parte real zero), então a classificação obtida pela linearização é válida localmente.
Resposta
(0,-2) : sela (saddle).\n (2,2) : nó estável (nó atrativo, sink).\n (-1,-1) : foco/espiral instável (espiral repulsora).