Classifique as singularidades dos campos.
X(x, y)=\left(y-x^{2}+2, x^{2}-x y\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
X(x,y)=\bigl(y-x^{2}+2,\;x^{2}-x y\bigr)
e pede para classificar as singularidades (pontos onde o campo é nulo).\n
Informações fornecidas:
\begin{cases} X_{1}(x,y)=y-x^{2}+2,\\[4pt] X_{2}(x,y)=x^{2}-x y. \end{cases}
Perguntas que o enunciado faz (explicitadas):
  • Quais são todos os pontos (x,y) tais que X(x,y)=0?
  • Para cada um desses pontos, qual é a classificação da singularidade (sela, nó estável/instável, foco/espiral, centro, degenerada, etc.)?]

Passo 2

Vamos encontrar os pontos singulares resolvendo o sistema
\begin{cases} y-x^{2}+2=0,\\[4pt] x^{2}-x y=0. \end{cases}
Da segunda equação fatoramos:
x^{2}-x y = x(x-y)=0.
Portanto temos duas possibilidades: \,x=0 ou \,y=x.
  • Se \,x=0: substituindo na primeira equação obtemos
    y-0^{2}+2=0 \;\Rightarrow\; y+2=0 \;\Rightarrow\; y=-2.
    Logo surge o ponto singular (0,-2).
  • Se \,y=x: substituindo na primeira equação obtemos
    x - x^{2} + 2 = 0 \;\Rightarrow\; -x^{2}+x+2=0 \;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=0.
    Essa quadrática fatoriza:
    x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0,
    portanto x=2 ou x=-1. Como y=x, obtemos os pontos (2,2) e (-1,-1).
Resumo: os pontos singulares são
(0,-2),\quad (2,2),\quad (-1,-1).]

Passo 3

Para classificar cada singularidade usamos a linearização do campo via a matriz jacobiana. Vou explicar isso devagarinho.
A matriz jacobiana J(x,y) de um campo planar X=(X_{1},X_{2}) é a matriz das derivadas parciais:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial X_{1}}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial X_{1}}{\partial y}\\[8pt] \displaystyle\frac{\partial X_{2}}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial X_{2}}{\partial y} \end{pmatrix}.
A ideia: próximo a um ponto fixo o comportamento do campo costuma ser parecido com o do sistema linear dado por J naquele ponto (isto é justificado pelo Teorema de Hartman–Grobman quando as partes reais dos autovalores não são zero — pontos chamados hiperbólicos). Para classificar basta calcular os autovalores de J no ponto e verificar sinal e parte real.
Calculemos as derivadas parciais do nosso campo:
\begin{aligned} \frac{\partial X_{1}}{\partial x} &= -2x, &\qquad \frac{\partial X_{1}}{\partial y} &= 1,\\[4pt] \frac{\partial X_{2}}{\partial x} &= 2x - y, &\qquad \frac{\partial X_{2}}{\partial y} &= -x. \end{aligned}
Portanto a jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix} -2x & 1\\[4pt] 2x-y & -x \end{pmatrix}.]

Passo 4

Classificação no ponto (0,-2).
Avaliaremos J em (0,-2):
J(0,-2)=\begin{pmatrix} -2\cdot 0 & 1\\[4pt] 2\cdot 0 -(-2) & -0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 \end{pmatrix}.
Para classificar, calculemos traço e determinante (essas quantidades ajudam bastante):
\text{tr}\,J(0,-2)=0+0=0,\qquad \det J(0,-2)=0\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2.
Os autovalores \lambda satisfazem a equação característica
\lambda^{2}- (\text{tr}\,J)\lambda + \det J = 0 \;\Rightarrow\; \lambda^{2} +(-2)=0,
ou seja
\lambda^{2}-2=0 \;\Rightarrow\; \lambda=\pm\sqrt{2}.
Aqui temos dois autovalores reais de sinais opostos (um positivo e um negativo). Isso significa que o ponto é uma sela (saddle): trajetórias se aproximam ao longo do autovetor correspondente ao autovalor negativo e se afastam ao longo do autovetor do autovalor positivo. Conclusão: (0,-2) é uma sela (hiperbólica).]

Passo 5

Classificação no ponto (2,2).
Avaliaremos J em (2,2):
J(2,2)=\begin{pmatrix} -2\cdot 2 & 1\\[4pt] 2\cdot 2 - 2 & -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 & 1\\[4pt] 2 & -2 \end{pmatrix}.
Calculemos traço e determinante:
\text{tr}\,J(2,2)=(-4)+(-2)=-6,\qquad \det J(2,2)=(-4)(-2)-1\cdot 2 = 8-2=6.
Discriminante da equação característica:
\Delta = (\text{tr})^{2}-4\det = (-6)^{2}-4\cdot 6 = 36-24 = 12 >0,
logo autovalores reais e distintos. Podemos obtê-los explicitamente:
\lambda=\frac{\text{tr}\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{2}=-3\pm\sqrt{3}.
Numeração aproximada: -3+\sqrt{3}\approx -1,268 e -3-\sqrt{3}\approx -4,732; ambos negativos e reais. Isso caracteriza um nó (node) estável — todas as trajetórias próximas são atraídas para o ponto quando t\to+\infty. Conclusão: (2,2) é um nó atrativo (nó estável), também chamado “sink” (hiperbólico).]

Passo 6

Classificação no ponto (-1,-1).
Avaliaremos J em (-1,-1):
J(-1,-1)=\begin{pmatrix} -2\cdot(-1) & 1\\[4pt] 2\cdot(-1) -(-1) & -(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
Traço e determinante:
\text{tr}\,J(-1,-1)=2+1=3,\qquad \det J(-1,-1)=2\cdot 1 - 1\cdot(-1)=2+1=3.
Discriminante:
\Delta = (\text{tr})^{2}-4\det = 3^{2}-4\cdot 3 = 9-12 = -3 <0.
Como a discriminante é negativa, os autovalores são complexos conjugados. Eles valem
\lambda = \frac{3\pm i\sqrt{3}}{2}.
A parte real é \Re(\lambda)=\dfrac{3}{2}>0, isto é, as soluções do sistema linearizado giram (devido à parte imaginária) e se afastam exponencialmente (devido à parte real positiva). Isso classifica o ponto como um foco/espiral instável (espiral repulsora, ou “unstable spiral” / foco repulsivo). Conclusão: (-1,-1) é um foco/espiral instável (hiperbólico).]

Passo 7

Resumo da razão das classificações e observação final:
  • Em cada ponto calculámos a jacobiana, obtivemos autovalores e usamos o sinal da parte real / natureza (real distinto / complexo) para decidir:
    • autovalores reais com sinais opostos → sela;
    • autovalores reais ambos negativos → nó estável (sink);
    • autovalores complexos com parte real positiva → foco/espiral instável (source).
  • Todos os três pontos são hiperbólicos (nenhum autovalor tem parte real zero), então a classificação obtida pela linearização é válida localmente.

Resposta

(0,-2) : sela (saddle).\n
(2,2) : nó estável (nó atrativo, sink).\n
(-1,-1) : foco/espiral instável (espiral repulsora).

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