X(x, y)=\left(-\alpha x+x y, 1-\beta y-x^{2}\right)
tem uma única singularidade quando \alpha \beta>1 e que essa singularidade é atratora quando \beta>0.
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
X(x,y)=\big(-\alpha x + x y,\;1-\beta y - x^{2}\big)
e pede duas coisas: (i) mostrar que há uma única singularidade (equilíbrio, ponto onde X=0) quando \alpha\beta>1; (ii) mostrar que essa singularidade é atratora quando \beta>0. As informações relevantes que temos são os parâmetros \alpha e \beta (são números reais) e a condição \alpha\beta>1. Singularidade significa um ponto (x,y) tal que ambas as componentes de X são zero simultaneamente.
Passo 2
Vamos escrever as equações que definem uma singularidade. Precisamos resolver o sistema
\begin{cases} -\alpha x + x y = 0,\\[4pt] 1 - \beta y - x^{2} = 0. \end{cases}
A primeira equação pode ser fatorada: x(y-\alpha)=0. Isso nos diz que, para um ponto ser singular, ou
desde que \beta\neq 0. Logo, se \beta\neq 0 existe o ponto (0,\tfrac{1}{\beta}) que satisfaz ambas as equações.
Observação didática curta: ao resolver um sistema onde uma equação se fatorou em x(y-\alpha)=0, é normal separar em dois ramos porque o produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 4
Caso (B): y=\alpha. Substituindo na segunda equação obtemos
Para existirem soluções reais para x precisamos de 1-\alpha\beta \ge 0, isto é \alpha\beta \le 1. Quando \alpha\beta>1 o lado direito é negativo e não há nenhuma solução real para x neste caso. Portanto, sob a hipótese \alpha\beta>1 o ramo y=\alpha não produz singularidades reais.
Passo 5
Concluímos dos passos anteriores que, quando \alpha\beta>1, o único ponto que satisfaz o sistema é o obtido no caso (A), isto é o ponto
\left(0,\frac{1}{\beta}\right),
desde que \beta\neq 0. Note que \alpha\beta>1 já garante \beta\neq 0. Portanto há exatamente uma singularidade real quando \alpha\beta>1. (Se \alpha\beta\le 1 pode haver também as duas singularidades com y=\alpha e x=\pm\sqrt{1-\alpha\beta} além de (0,1/\beta) — mas isso não é pedido aqui.)
Passo 6
Agora vamos estudar a natureza (estabilidade) dessa singularidade. Para isso linearizamos o campo em torno do ponto de equilíbrio. Primeiro computamos a matriz Jacobiana de X. Escrevendo X=(X_{1},X_{2}) com X_{1}(x,y)=x(y-\alpha) e X_{2}(x,y)=1-\beta y - x^{2}, as derivadas parciais são
Para que a singularidade seja atratora (um ponto assintoticamente estável, ou sink), precisamos que ambos os autovalores tenham parte real negativa. Vamos verificar os sinais:
\lambda_{2}=-\beta tem parte real negativa exatamente quando \beta>0.
\lambda_{1}=\dfrac{1}{\beta}-\alpha<0 se, e somente se, \dfrac{1}{\beta}<\alpha, isto é \alpha\beta>1.
Como no enunciado temos a hipótese \alpha\beta>1, a condição para \lambda_{1}<0 já está satisfeita. Assim, quando \beta>0 e \alpha\beta>1 temos \lambda_{1}<0 e \lambda_{2}<0, ou seja, ambos os autovalores têm parte real negativa.
Pelo critério de linearização (teorema de estabilidade linear / Hartman-Grobman em sua forma básica), se a Jacobiana no equilíbrio tem todos os autovalores com parte real negativa (equilíbrio hiperbólico com sinais apropriados), então o equilíbrio é assintoticamente estável — na linguagem comum, é um ponto atrator local.
Resposta
\left(0,\dfrac{1}{\beta}\right) é a única singularidade quando \alpha\beta>1.\nQuando \beta>0 (e \alpha\beta>1) essa singularidade é atratora (sink).