Classifique as singularidades dos campos.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido por
A tarefa é: encontrar todas as singularidades (pontos críticos, isto é, pontos onde
) e classificar cada uma (tipo de equilíbrio: nó, sela, foco, centro; estável/instável, etc.).
Informações relevantes dadas: a expressão de cada componente do campo em função de e
. Não há outras restrições.
Informações relevantes dadas: a expressão de cada componente do campo em função de
Passo 2
Vamos encontrar as singularidades resolvendo o sistema
Explico passo a passo como resolver esse sistema: a primeira equação é
que equivale a
A segunda equação é
. Podemos escrever esta segunda como
Isto mostra duas possibilidades: ou
ou
(isto é,
). Vamos testar cada caso.]
Passo 3
Caso
: substituindo na primeira equação temos
logo não satisfaz a primeira equação. Portanto
não produz nenhuma solução conjunta.
Caso
: substituindo na primeira equação obtemos
Portanto há exatamente uma singularidade: o ponto
Passo 4
Para classificar a singularidade vamos linearizar o campo ao redor do ponto crítico usando a matriz Jacobiana. Primeiro calculamos as derivadas parciais das componentes do campo. Se escrevemos
com
e
, então
Assim a matriz Jacobiana
é
Passo 5
Agora avaliamos a Jacobiana no ponto crítico
. Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Para classificar linearmente o equilíbrio usamos os autovalores (e, de forma prática, o traço e o determinante da matriz
). Calculemos traço e determinante:
A fórmula padrão para os autovalores de uma matriz
é
Aqui
ou seja, o discriminante é negativo e os autovalores são complexos conjugados. Calculando explicitamente:
Passo 7
Interpretação dos autovalores: são complexos com parte real negativa (
). Para sistemas lineares
isso significa soluções que oscilam (devido à parte imaginária) enquanto decaem exponencialmente no tempo (devido à parte real negativa): geometricamente é um espiral que se aproxima do ponto de repouso. Como os autovalores têm parte real não nula, a singularidade é hiperbólica e a classificação local do sistema não-linear coincide com a da linearização (teorema de linearização local / Hartman–Grobman).
Passo 8
Conclusão (em linguagem de prova / na hora da avaliação): existe uma única singularidade em
. A matriz jacobiana linearizada no ponto tem autovalores
, ou seja, parte real negativa e parte imaginária não nula. Portanto a singularidade é um foco assintoticamente estável (foco atrator, espiral estável).