Classifique os sistemas abaixo e explicite as soluções quando possível.
\left\{\begin{array}{l}5 x-2 y+2 z=2 \\\\ 3 x+y+4 z=-1 \\\\ 4 x-3 y+z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique o sistema linear e que se expliquem as soluções quando possível. O sistema dado é:
\begin{cases} 5x-2y+2z=2,\\[4pt] 3x+y+4z=-1,\\[4pt] 4x-3y+z=3. \end{cases}
Informações fornecidas:
  • São três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
  • Os coeficientes e os termos independentes estão todos explícitos no enunciado.]

Passo 2

Organizar o sistema na forma matricial ajuda a visualizar a estrutura. Escrevendo a matriz dos coeficientes A, o vetor incógnita \mathbf{x} e o vetor termos constantes \mathbf{b}:
A=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 4\\[4pt] 4 & -3 & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O sistema é A\mathbf{x}=\mathbf{b}.]

Passo 3

Explicar o critério usado para classificar o sistema: se a matriz A tem determinante diferente de zero então o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Se o determinante for zero, pode ser compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução), dependendo da consistência com \mathbf{b}.
Aqui vamos calcular o determinante de A. A fórmula para o determinante de uma matriz 3\times3
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
significa: multiplicar o primeiro elemento da primeira linha pelo determinante do menor correspondente, subtrair o segundo elemento da primeira linha vezes seu menor, e somar o terceiro elemento vezes seu menor. Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao A dado:
\det(A)=5\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-4\cdot(-3)=1+12=13,
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-4\cdot4=3-16=-13,
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-1\cdot4=-9-4=-13.
Substituindo:
\det(A)=5\cdot13 -(-2)\cdot(-13) + 2\cdot(-13)=65 - 26 - 26 = 13.]

Passo 5

Como \det(A)=13\neq0, o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Agora vamos encontrar essa solução. Uma forma direta e mecânica é usar a regra de Cramer, que diz:
x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta},
onde \Delta=\det(A) e \Delta_x é o determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna de A pelo vetor \mathbf{b}, \Delta_y substitui a segunda coluna e \Delta_z a terceira coluna.

Passo 6

Calcular \Delta_x. Substitui-se a primeira coluna por \mathbf{b}:
A_x=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 4\\[4pt] 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Calcule \Delta_x=\det(A_x). Usando a mesma regra:
\Delta_x=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}.
Já conhecemos \det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}=13. Calcule os outros dois:
\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-4\cdot3=-1-12=-13,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-3)-1\cdot3=3-3=0.
Logo
\Delta_x=2\cdot13 -(-2)\cdot(-13) + 2\cdot0 =26 - 26 + 0 =0.]

Passo 7

Calcular \Delta_y. Substitui-se a segunda coluna por \mathbf{b}:
A_y=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 4\\[4pt] 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Então
\Delta_y=5\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}.
Já tínhamos \det\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}=-13 e \det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=-13. Calcule o último:
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-(-1)\cdot4=9+4=13.
Logo
\Delta_y=5\cdot(-13) -2\cdot(-13) + 2\cdot13 = -65 +26 +26 = -13.]

Passo 8

Calcular \Delta_z. Substitui-se a terceira coluna por \mathbf{b}:
A_z=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 2\\[4pt] 3 & 1 & -1\\[4pt] 4 & -3 & 3 \end{pmatrix}.
Então
\Delta_z=5\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3 - (-1)\cdot(-3)=3-3=0,
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]4 & 3\end{pmatrix}=13\quad(\text{calculado no passo anterior}),
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}=-13\quad(\text{já calculado antes}).á
Substituindo:
\Delta_z=5\cdot0 -(-2)\cdot13 + 2\cdot(-13) = 0 +26 -26 =0.]

Passo 9

Agora aplicar Cramer:
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{0}{13}=0,\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-13}{13}=-1,\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{0}{13}=0.
Portanto a solução encontrada é \displaystyle (x,y,z)=(0,-1,0).

Passo 10

Verificação rápida (substituir na primeira equação por exemplo):
5\cdot0 -2\cdot(-1)+2\cdot0 = 0 +2 +0 =2,
que coincide com o termo independente da primeira equação. As outras duas equações também conferem (pode verificar do mesmo modo), confirmando a solução.

Resposta

Compatível determinado.
\displaystyle (x,y,z)=(0,-1,0)

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