São três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
Os coeficientes e os termos independentes estão todos explícitos no enunciado.]
Passo 2
Organizar o sistema na forma matricial ajuda a visualizar a estrutura. Escrevendo a matriz dos coeficientes A, o vetor incógnita \mathbf{x} e o vetor termos constantes \mathbf{b}:
Explicar o critério usado para classificar o sistema: se a matriz A tem determinante diferente de zero então o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Se o determinante for zero, pode ser compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução), dependendo da consistência com \mathbf{b}.
Aqui vamos calcular o determinante de A. A fórmula para o determinante de uma matriz 3\times3
significa: multiplicar o primeiro elemento da primeira linha pelo determinante do menor correspondente, subtrair o segundo elemento da primeira linha vezes seu menor, e somar o terceiro elemento vezes seu menor. Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j.
Como \det(A)=13\neq0, o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Agora vamos encontrar essa solução. Uma forma direta e mecânica é usar a regra de Cramer, que diz:
onde \Delta=\det(A) e \Delta_x é o determinante da matriz obtida substituindo a primeira coluna de A pelo vetor \mathbf{b}, \Delta_y substitui a segunda coluna e \Delta_z a terceira coluna.
Passo 6
Calcular \Delta_x. Substitui-se a primeira coluna por \mathbf{b}:
Portanto a solução encontrada é \displaystyle (x,y,z)=(0,-1,0).
Passo 10
Verificação rápida (substituir na primeira equação por exemplo):
5\cdot0 -2\cdot(-1)+2\cdot0 = 0 +2 +0 =2,
que coincide com o termo independente da primeira equação. As outras duas equações também conferem (pode verificar do mesmo modo), confirmando a solução.