Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=3 x[n]+5

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema discreto
y[n]=3\,x[n]+5
em relação a três propriedades: linearidade, invariância no tempo e causalidade. Para isso, vamos aplicar os testes clássicos de sistemas lineares e invariantes no tempo e verificar on­de cada saída depende apenas do passado/presente ou também do futuro da entrada.

Passo 2

Teste de linearidade (superposição e homogeneidade):
Para dois sinais de entrada x_{1}[n] e x_{2}[n], chamemos de T\{\cdot\} a operação do sistema. Então:
T\{x_{1}[n]+x_{2}[n]\} =3\bigl(x_{1}[n]+x_{2}[n]\bigr)+5 =3\,x_{1}[n]+3\,x_{2}[n]+5
enquanto
T\{x_{1}[n]\}+T\{x_{2}[n]\} =\bigl(3\,x_{1}[n]+5\bigr)+\bigl(3\,x_{2}[n]+5\bigr) =3\,x_{1}[n]+3\,x_{2}[n]+10.
Como aparecem constantes diferentes, a superposição falha.
No teste de homogeneidade, para escalar por a:
T\{a\,x[n]\}=3\,a\,x[n]+5 \quad\neq\quad a\,(3\,x[n]+5)=3\,a\,x[n]+5\,a.
Logo, o sistema não é linear.

Passo 3

Teste de invariância no tempo:
Se a entrada for deslocada em n_{0}, x'[n]=x[n-n_{0}], a saída será
T\{x[n-n_{0}]\} =3\,x[n-n_{0}]+5.
Por outro lado, aplicando o sistema a x[n] e depois deslocando a saída,
y[n-n_{0}] =3\,x[n-n_{0}]+5.
Os dois resultados coincidem para qualquer n_{0}, portanto o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Teste de causalidade:
Um sistema é causal se, para cada índice n, y[n] depende somente de valores de x[k] com k\le n. Aqui
y[n]=3\,x[n]+5
depende apenas de x[n], sem referência a x[n+1] ou índices maiores. Logo, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y[n]=3\,x[n]+5 é
não linear, invariante no tempo e causal.

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