Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=3 x[n]+5 u[n]

Passo 1

O enunciado dá um sistema discreto definido por
y[n] = 3\,x[n] + 5\,u[n]
onde x[n] é o sinal de entrada e u[n] é a função degrau unitário.
Conteúdo envolvido:
– Definição de sistema linear (superposiçã o+homogeneidade).
– Definição de sistema invariante no tempo (time-shift invariance).
– Definição de sistema causal (sem dependência de valores futuros da entrada).

Passo 2

Testando linearidade:
  1. Se x_1[n]\to y_1[n]=3x_1[n]+5u[n] e x_2[n]\to y_2[n]=3x_2[n]+5u[n].
  2. Pela superposição, para \alpha x_1[n]+\beta x_2[n] deveríamos ter
y[n] = \alpha y_1[n] + \beta y_2[n] = \alpha\bigl(3x_1[n]+5u[n]\bigr) + \beta\bigl(3x_2[n]+5u[n]\bigr) = 3\bigl(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\bigr) + (\alpha+\beta)\,5u[n].
Mas o sistema real daria
y[n] = 3\bigl(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\bigr)+5u[n],
e só coincide se \alpha+\beta=1, o que não vale em geral.
3. Em particular, para x[n]=0 obtemos
\;y[n]=5u[n]\neq0,
violando a propriedade de homogeneidade.
Logo, o sistema não é linear.

Passo 3

Testando invariância no tempo:
  1. Desloje a entrada: x_k[n]=x[n-k].
  2. A saída associada seria
y_k[n] = 3\,x[n-k]+5\,u[n].
  1. Se fosse invariante, deveríamos ter y_k[n]=y[n-k]. Mas
y[n-k] = 3\,x[n-k] + 5\,u[n-k],
e comparando vemos que y_k[n] tem 5\,u[n] enquanto y[n-k] tem 5\,u[n-k].
Portanto, o sistema varia com deslocamento no tempo (é variável).

Passo 4

Testando causalidade:
– Um sistema é causal se, para calcular y[n], só usamos valores de entrada em instantes \le n.
– Aqui y[n] depende de x[n] e de u[n]. Ambos são sinais conhecidos até o instante n.
Logo, não há dependência de valores futuros e o sistema é causal.

Resposta

Não linear; variante no tempo; causal.

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