Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=n x[n]

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema discreto definido por
y[n]=n\,x[n]
em três aspectos: linearidade, invariância a deslocamentos de tempo e causalidade.

Passo 2

Para verificar a linearidade, aplicamos o princípio de superposição. Suponha dois sinais de entrada x_1[n] e x_2[n] e escalares a e b. As saídas seriam
y_1[n]=n\,x_1[n],\quad y_2[n]=n\,x_2[n].
Se aplicarmos a entrada combinada a\,x_1[n]+b\,x_2[n], a saída será
y[n] = n\bigl(a\,x_1[n]+b\,x_2[n]\bigr) = a\bigl(n\,x_1[n]\bigr) + b\bigl(n\,x_2[n]\bigr) = a\,y_1[n] + b\,y_2[n].
Como a superposição se verifica, o sistema é linear.

Passo 3

Para testar a invariância a deslocamentos de tempo, deslocamos a entrada em n_0:
x'[n] = x[n - n_0].
A saída correspondente é
y'[n] = n\,x'[n] = n\,x[n-n_0].
Se fosse invariante, esperaríamos
y[n-n_0] = (n - n_0)\,x[n - n_0].
Como y'[n]=n\,x[n-n_0]\neq (n - n_0)\,x[n-n_0], o sistema não é invariantevariável no tempo).

Passo 4

Para avaliar a causalidade, observamos que y[n] depende apenas de x[n] no mesmo instante n e não de valores futuros x[n+k] com k>0. Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y[n]=n\,x[n] é
linear, variante no tempo e causal.

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