Classifique os sistemas discretos representados pelas equações (ou sequências) abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; causal/não causal.
y[n]=\cos (0,2 \pi n) x[n]

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
y[n] = \cos\bigl(0,2\pi n\bigr)\,x[n]
quanto a três propriedades de sistemas discretos:
– linearidade (linear vs. não linear),
– invariância temporal (invariante vs. variante),
– causalidade (causal vs. não causal).
Para cada propriedade vamos aplicar sua definição e verificar se o sistema satisfaz ou não.

Passo 2

Verificação de linearidade. Um sistema é linear se satisfaz superposição, isto é, para quaisquer sinais de entrada x_1[n], x_2[n] e escalares a,b deveremos ter
T\{a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\} = a\,T\{x_1[n]\} + b\,T\{x_2[n]\}.
No nosso caso
T\{x[n]\} = \cos(0,2\pi n)\,x[n].
Logo
T\{a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\} = \cos(0,2\pi n)\bigl(a\,x_1[n] + b\,x_2[n]\bigr) = a\,\cos(0,2\pi n)\,x_1[n] + b\,\cos(0,2\pi n)\,x_2[n] = a\,T\{x_1[n]\} + b\,T\{x_2[n]\}.
Portanto o sistema é linear.

Passo 3

Verificação de invariância temporal. Um sistema é invariante se um atraso na entrada gera exatamente o mesmo atraso na saída. Seja x'[n]=x[n-n_0]. Então
T\{x'[n]\} = \cos\bigl(0,2\pi n\bigr)\,x[n-n_0].
Por outro lado, atrasar a saída original y[n] em n_0
y[n-n_0] = \cos\bigl(0,2\pi (n-n_0)\bigr)\,x[n-n_0].
Como em geral
\cos\bigl(0,2\pi (n-n_0)\bigr) \neq \cos\bigl(0,2\pi n\bigr),
os dois resultados diferem e o sistema é vari­an­te em tempo.

Passo 4

Verificação de causalidade. Um sistema discreto é causal se, para cada n, y[n] depende somente de x[k] para k\le n. Aqui
y[n] = \cos(0,2\pi n)\,x[n]
depende unicamente de x[n] (o presente) e de \cos(0,2\pi n), que é um fator determinístico conhecido. Não há dependência de valores futuros x[n+k], k>0. Logo o sistema é causal.

Resposta

linear, variante em tempo, causal.

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