Classifique os sistemas lineares sobre R, de 2 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=1 \\\\ -x+2 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de duas equações e duas incógnitas sobre \mathbb{R}:
\begin{cases} 2x + 3y = 1,\\\\ -\,x + 2y = 3. \end{cases}
O que precisamos fazer é
– classificar o sistema (se é impossível, indeterminado ou determinado) e
– encontrar o conjunto-solução.
Para isso vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e a regra de Cramer.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}, \quad \det(A) = 2\cdot2 - (-1)\cdot3 = 4 + 3 = 7.

Passo 3

Como \det(A)=7\neq0, concluímos que o sistema é compatível e determinado, ou seja, tem exatamente uma solução.

Passo 4

Pela regra de Cramer, calculamos os determinantes substituindo a coluna de x e a coluna de y pelos termos independentes:
Para x:
A_x = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad \det(A_x) =1\cdot2 - 3\cdot3 = 2 - 9 = -7,
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x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-7}{7} = -1.
Para y:
A_y = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \det(A_y) =2\cdot3 - (-1)\cdot1 = 6 + 1 = 7,
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y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{7}{7} = 1.

Resposta

O sistema é compatível determinado e seu conjunto-solução é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=-1,\;y=1\}.

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