Classifique os sistemas lineares sobre R, de 2 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{l}2 a+4 b=2 \\\\ 4 a+8 b=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas incógnitas a e b em \mathbb{R}:
\begin{cases} 2a + 4b = 2,\\\\ 4a + 8b = 4.
O objetivo é classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução) e, se existir solução, determinar seu conjunto.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada (A\mid\mathbf{b}):
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 4 & 8\end{pmatrix}, \quad (A\mid\mathbf{b}) = \begin{pmatrix}2 & 4 & 2 \\[6pt] 4 & 8 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Note que a segunda linha de ambas as matrizes é o dobro da primeira. Portanto
\mathrm{rank}(A)=1 \quad\text{e}\quad \mathrm{rank}(A\mid\mathbf{b})=1.

Passo 4

Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid\mathbf{b})=1<2 (número de incógnitas), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.

Passo 5

Para parametrizar as soluções, basta usar a equação independente:
2a+4b=2 \quad\Longleftrightarrow\quad a+2b=1 \quad\Longleftrightarrow\quad a=1-2b.
Definindo b=t, com t\in\mathbb{R}, obtemos
a=1-2t,\quad b=t.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e seu conjunto solução é
\{(a,b)\in\mathbb{R}^2\mid a=1-2t,\;b=t,\;t\in\mathbb{R}\}.

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