Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
(c) y(t)=t x(t)+2

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
y(t)=t,x(t)+2
em relação a cinco propriedades: linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos usar definição de cada propriedade e testar no sistema dado.

Passo 2

Para testar linearidade aplicamos superposição e homogeneidade. Seja x1,x2 duas entradas e a,b escalares. Então
Sa x1(t)+b x2(t) = tl(a x1(t)+b x2(t)r)+2 = a,t,x1(t)+b,t,x2(t)+2
Por outro lado,
a,Sx1(t)+b,Sx2(t) = al(t,x1(t)+2r)+bl(t,x2(t)+2r) = a,t,x1(t)+b,t,x2(t)+2(a+b)
Como há termos diferentes (o “ +2” estraga a homogeneidade), o sistema não é linear.

Passo 3

Para testar invariância no tempo, deslocamos a entrada em tau:
Sx(t-tau)=t,x(t-tau)+2
Já a saída deslocada seria
l[Sx(t)r]tto t-tau =(t-tau),x(t-tau)+2
Como t,x(t-tau)+2neq (t-tau),x(t-tau)+2 em geral, o sistema não é invariável no tempo.

Passo 4

O sistema é causal se y(t) depende apenas de valores de x em instantes <= t. Aqui y(t) depende só de x(t) (e de t mesmo), sem usar valores futuros x(t') com t'>t. Logo é causal.

Passo 5

O sistema é memoryless (sem memória) se y(t) depende apenas de x(t) e não de x em outros instantes. Como aparece apenas x(t), ele não tem memória.

Passo 6

Um sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada produz saída limitada. Se lvert x(t)rvert<= M então
lvert y(t)rvert =lvert t,x(t)+2rvert <= |t|,M+2,
e |t|,M+2 não é limitado em tinR. Portanto não é BIBO-estável.

Resposta

Não linear; não invariável no tempo; causal; sem memória; não BIBO-estável.

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