Questão 2 (1 pt) Encontre y^prime, a derivada da função implícita, dada pcla equação
e^y-e^-y=2 x
e determine a reta tangente no ponto ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^y - e^-y = 2x
e pede a derivada da função implícita y' e a reta tangente em (0,0). Vamos usar diferenciação implícita para obter y'.

Passo 2

Aplicamos d/dx em cada termo da equação. Como y depende de x, usamos a regra da cadeia:
ddxl(e^yr)=e^y,y',
ddxl(-e^-yr)=-l(-e^-y,y'r)=e^-y,y',
ddx(2x)=2
Logo, ao derivar ambos os lados,
e^y,y' + e^-y,y' = 2

Passo 3

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y',(e^y + e^-y) = 2
e isolamos y':
y' = 2e^y + e^-y

Passo 4

Agora avaliamos em (0,0). Como y=0 implica e^0=1, temos
y'l|(0,0) = 21 + 1 = 1

Passo 5

A reta tangente em (0,0) com coeficiente angular m=1 é dada por
y - 0 = 1,(x - 0)
ou seja
y = x

Resposta

y' = 2e^y + e^-y,
reta tangente em (0,0):
y = x

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