Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
(g) y(t)=integral-5^t beta x(beta) d beta

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)=integral-5^tbeta,x(beta),dbeta
e pede que classifiquemos linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos usar o princípio da superposição para linearidade, teste de deslocamento para invariância, definição de causalidade (dependência só de x(tau) para tau<= t), definição de memória (dependência de mais de x(t)) e critério BIBO (se lvert x(t)rvert<= M então lvert y(t)rvert é limitada).

Passo 2

Verificando linearidade: seja x1 com saída y1 e x2 com saída y2. Para entrada a,x1(t)+b,x2(t) temos
y(t)=integral-5^tbetal(a,x1(beta)+b,x2(beta)r),dbeta =aintegral-5^tbeta,x1(beta),dbeta +bintegral-5^tbeta,x2(beta),dbeta =a,y1(t)+b,y2(t)
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Testando invariância no tempo: defina x'(t)=x(t-t0). A saída será
y'(t)=integral-5^,tbeta,x(beta-t0),dbeta
Para que fosse invariante no tempo precisaríamos ter y'(t)=y(t-t0), ou seja
y(t-t0)=integral-5^,t-t0beta,x(beta),dbeta
Como os limites e o fator beta não se alinham, não há coincidência, então o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Causalidade: em cada t o valor de y(t) usa apenas x(beta) para beta no intervalo [-5,t], isto é, beta<= t. Logo não depende de valores futuros de x, de modo que o sistema é causal.

Passo 5

Memória: y(t) depende de x(beta) para beta<t, não só de x(t). Logo o sistema possui memória.

Passo 6

BIBO-estabilidade: suponha lvert x(t)rvert<= M para todo t. Então
lvert y(t)rvert =llvertintegral-5^tbeta,x(beta),dbetarrvert <= Mintegral-5^tlvertbetarvert,dbeta
Mas integral-5^tlvertbetarvert,dbeta cresce sem limite conforme ttoinfty, logo lvert y(t)rvert pode crescer arbitrariamente e não fica uniformemente limitada. Portanto o sistema não é BIBO-estável.

Resposta

Linear
Não invariante no tempo
Causal
Com memória
Não BIBO-estável

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