Exemplo
Use o Teorema anterior para determinar se o campo vetorial
é conservativo em algum conjunto aberto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo em algum conjunto aberto. O conteúdo que vamos usar é o critério de campo conservativo em
: se
e
são as componentes de
, ou seja,
e se as derivadas parciais de
e
forem contínuas em um domínio aberto
, então
é conservativo em
se, e somente se,
em todo ponto de
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Primeiro,
Em seguida,
Passo 3
Comparando as duas derivadas vê-se que
logo
em qualquer ponto de
.
Passo 4
Como a condição necessária e suficiente para que
seja conservativo (num domínio aberto e simplesmente conectado) falha em todo lugar, concluímos que não existe nenhum conjunto aberto em que o campo seja conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo em nenhum conjunto aberto.