Exemplo

Use o Teorema anterior para determinar se o campo vetorial

F(x, y)=(x+y) i+(y-x) j
é conservativo em algum conjunto aberto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = (x+y),i + (y-x),j
é conservativo em algum conjunto aberto. O conteúdo que vamos usar é o critério de campo conservativo em R^2: se P(x,y) e Q(x,y) são as componentes de F, ou seja,
P(x,y)=x+y, Q(x,y)=y-x,
e se as derivadas parciais de P e Q forem contínuas em um domínio aberto D, então F é conservativo em D se, e somente se,
partial Ppartial y = partial Qpartial x
em todo ponto de D.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de P e Q. Primeiro,
partial Ppartial y =partialpartial y(x+y) =1
Em seguida,
partial Qpartial x =partialpartial x(y-x) =-1

Passo 3

Comparando as duas derivadas vê-se que
partial Ppartial y = 1 e partial Qpartial x = -1,
logo
partial Ppartial yneq partial Qpartial x
em qualquer ponto de R^2.

Passo 4

Como a condição necessária e suficiente para que F seja conservativo (num domínio aberto e simplesmente conectado) falha em todo lugar, concluímos que não existe nenhum conjunto aberto em que o campo seja conservativo.

Resposta

O campo F(x,y)=(x+y),i+(y-x),j não é conservativo em nenhum conjunto aberto.

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