Classifique os subconjuntos abaixo em LI ou LD
(h) 2+t-t^2,-4-t+4 t^2, t+2 t^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar o subconjunto
,2 + t - t^2,;-4 - t + 4t^2,;t + 2t^2
no espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2) como linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos representar esses polinômios no basis canônico 1,t,t^2 e verificar se existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio como vetor de coordenadas (coeficiente de 1,;coeficiente de t,;coeficiente de t^2):
p1 = 2 + t - t^2 ;longrightarrow;(2,,1,,-1),
p2 = -4 - t +4t^2 ;longrightarrow;(-4,,-1,,4),
p3 = t + 2t^2 ;longrightarrow;(0,,1,,2)

Passo 3

Procuramos escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a,p1 + b,p2 + c,p3 = (0,0,0)
Isto gera o sistema
2a - 4b + 0c = 0, a - b + c = 0, -,a +4b +2c = 0

Passo 4

Da primeira equação vem 2a - 4b=0, logo
a = 2b
Substituindo em a - b + c=0
2b - b + c = 0 Longrightarrow c = -,b
Na terceira equação aparece
-2b + 4b +2(-b) = 0 ;Longrightarrow; 0=0,
que é sempre satisfeita. Como b pode ser escolhido diferente de zero (por ex. b=1), obtemos uma solução não trivial (a,b,c)=(2,1,-1). Portanto os vetores são LD.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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