Classifique os subconjuntos abaixo em LI ou LD
(i) 1-t+2 t^2, t-t^2, t^2

Passo 1

Temos o conjunto de polinômios
,1 - t + 2t^2,;t - t^2,;t^2
no espaço vetorial P2. Queremos saber se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos ver se a combinação
c1,(1 - t + 2t^2) ;+; c2,(t - t^2);+;c3,(t^2);=;0
implica necessariamente c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 2

Escrevemos cada polinômio na base 1,t,t^2:
1 - t + 2t^2 ;longmapsto;(1,,-1,,2), t - t^2 ;longmapsto;(0,,1,,-1), t^2 ;longmapsto;(0,,0,,1)

Passo 3

Formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
M = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -1 & 1
Essa matriz é triangular (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), então
det(M) = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 ;neq;0
Como o determinante é não nulo, a única solução de M,(c1,c2,c3)^T = (0,0,0)^T é c1 = c2 = c3 = 0. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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