Nos itens de (a) a (g) apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais.
(b) R^3,(x, 2 x, 3 x): x in R com as operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,2x,3x)mid xinR
munido das operações usuais em R^3 é um espaço vetorial. Como R^3 já é espaço vetorial, basta usar o critério de subespaço: mostrar que Sneqemptyset, que é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Não-vazio. O vetor zero de R^3 é 0=(0,0,0). Como
(0,0,0) = (0,2cdot0,3cdot0),
vemos que 0in S. Logo Sneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
u = (x,2x,3x)in S, v = (y,2y,3y)in S
Então
u+v = (x+y,;2x+2y,;3x+3y) = (x+y,;2(x+y),;3(x+y))
Como x+yinR, concluímos u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
u = (x,2x,3x)in S
Então
lambda,u = (lambda x,;2lambda x,;3lambda x) = (w,;2w,;3w),
onde w=lambda xinR. Logo lambda uin S.

Resposta

O conjunto S=(x,2x,3x):xinR satisfaz os três requisitos de subespaço de R^3, logo é um espaço vetorial.

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