Seja o espaço vetorial . Determine seus subespaços gerados pelos vetores
(a) e v2=[rr2 & 1 -1 & -1]
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o subespaço de M(2,2) gerado pelos vetores (matrizes)
v1 = -1 & 2 [4pt] 1 & 0, v2 = 2 & 1 [4pt] -1 & -1
O conteúdo envolvido é o conceito de subespaço gerado (ou span) e independência linear em espaços vetoriais.]
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
isto é,
Isso gera o sistema de equações:
Da última equação vem . Logo, são independentes e, portanto,
]
Passo 3
Um elemento genérico do subespaço é dado por combinação linear:
A = a,v1 + b,v2, a,binR
Calculando as entradas, temos
A = -,a + 2,b & 2,a + b [4pt] a - b & -,b
Em coordenadas, se escrevermos
A = x & y [4pt] z & w,
então
x = -a + 2b, y = 2a + b, z = a - b, w = -b ]
Passo 4
Podemos reescrever essas fórmulas para identificar as restrições lineares entre x,y,z,w. Da última igual-dade vem b=-w. Substituindo em z=a-b dá a = z - w. Logo
x = -(z-w) + 2(-w) = -z - w, y = 2(z-w) +(-w) = 2z - 3w
Isso mostra que as matrizes no subespaço satisfazem
x + z + w = 0, y - 2z + 3w = 0
Portanto esse subespaço é o conjunto de todas as matrizes