Classifique os subconjuntos abaixo em LI ou LD
(j) 1+3 t+t^2, 2-t-t^2, 1+2 t-3 t^2,-2+t+3 t^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
,1+3t+t^2,;2-t-t^2,;1+2t-3t^2,;-2+t+3t^2
no espaço vetorial P2 em LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Para isso vamos expressar essas quatro funções como vetores de coeficientes em relação à base 1,t,t^2 e montar o sistema homogêneo
a(1+3t+t^2)+b(2-t-t^2)+c(1+2t-3t^2)+d(-2+t+3t^2)=0
para ver se existe solução não trivial.

Passo 2

Cada polinômio vira um vetor de coeficientes (c0,c1,c2):
v1=(1,3,1), v2=(2,-1,-1), v3=(1,2,-3), v4=(-2,1,3)
A combinação linear nula gera o sistema
a+2b+c-2d=0, 3a-b+2c+d=0, a-b-3c+3d=0

Passo 3

Resolvendo, por exemplo, expressamos a em função de b,c,d na primeira equação e substituímos nas outras duas, obtendo
a=-2b-c+2d, 7b+c-7d=0, 3b+4c-5d=0
Dessas vem
c=7d-7b, 25b=23dLongrightarrow (a,b,c,d)=(-10,23,14,25)
quando escolhemos d=25. Como existe solução com (a,b,c,d)neq(0,0,0,0), temos uma dependência linear não trivial.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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