Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície dada pela equação
Isso faz parte do estudo de superfícies quadráticas em três variáveis. Para classificar, precisamos comparar com as formas canônicas de quadricas e examinar os coeficientes dos termos quadráticos, além de identificar possíveis termos lineares ou cruzados.
Passo 2
Escrevemos a forma geral de uma quadric a partir dos coeficientes de
,
e
. Aqui não há termos mistos
,
,
nem termos lineares em
,
ou
. Os coeficientes dos quadrados são todos iguais e positivos:
Não há deslocamento (não há termos como
etc.), o que indica que o centro da superfície está na origem
.
Passo 3
Comparando com a forma canônica de uma elipsoide
vemos que aqui
. Logo trata-se de um caso especial de elipsoide em que todos os semi-eixos são iguais, ou seja, uma esfera de raio
.
Passo 4
Para visualizar, isolamos
:
com a condição
. Isso mostra que cada secção feita por um plano paralelo ao plano
é um círculo de raio
. Analogamente, as secções por planos
ou
também serão círculos de raio 3.
Resposta
A superfície é uma esfera de centro em
e raio
.