Calcular a integral
, onde
ûˋ o domûÙnio limitado pela elipse
1 no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o quarto da elipse
no primeiro quadrante. Vamos usar a troca de variáveis
para transformar
num quarto do disco de raio
, o que facilita o cálculo.
Passo 2
Fazendo
o jacobiano é
Logo
e o integrando vira
O domínio em
(u,v) é
isto é, o quarto do disco de raio
1 .
Passo 3
A integral original passa a ser
Passo 4
Para calcular
integral dupla u,v,du,dv no quarto de disco, usamos coordenadas polares
com
0<= r<=1 e
0<=theta<=tfracpi2 . O elemento de área é
du,dv = r,dr,dtheta , então
Passo 5
Agora separamos as integrais:
Calculando cada uma:
Portanto
e assim