Calcular a integral integral duplaD x y d x d y, onde D ûˋ o domûÙnio limitado pela elipse x^2a^2+y^2b^2= 1 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaD x cdot y , dx , dy
onde D é o quarto da elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
no primeiro quadrante. Vamos usar a troca de variáveis
x = a cdot u,; y = b cdot v para transformar D num quarto do disco de raio 1, o que facilita o cálculo.

Passo 2

Fazendo
x = a,u, y = b,v,
o jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) = a & 0 0 & b = a,b
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dx,dy = a,b,du,dv,
e o integrando vira
x,y,dx,dy = (a,u)(b,v),(a,b),du,dv = a^2b^2,u,v,du,dv
O domínio em (u,v) é
u^2+v^2<=1, u>=0,;v>=0,
isto é, o quarto do disco de raio 1.

Passo 3

A integral original passa a ser
integral duplaDx,y,dx,dy = a^2b^2 integral duplau^2+v^2<=1,;u,v>=0 u,v,du,dv

Passo 4

Para calcular
integral dupla u,v,du,dv no quarto de disco, usamos coordenadas polares
u = rcostheta, v = rsintheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=tfracpi2. O elemento de área é du,dv = r,dr,dtheta, então
u,v,du,dv = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 5

Agora separamos as integrais:
integral duplau^2+v^2<=1,;u,v>=0 u,v,du,dv = integral0^pi/2!costhetasintheta,dtheta integral0^1r^3,dr
Calculando cada uma:
integral0^1r^3,dr = 14, integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = 12
Portanto
integral duplau^2+v^2<=1,;u,v>=0 u,v,du,dv = 14cdot12 = 18
e assim
integral duplaDx,y,dx,dy = a^2b^2,18

Resposta

a^2b^28

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