Se f(x)=x^2-2 x e g(x)=2 x+3, encontre as seguintes funções f circ g e g circ f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
  • f(x) = x^2 - 2x
  • g(x) = 2x + 3
O que a gente precisa fazer é encontrar as composições dessas funções, ou seja, f circ g e g circ f . Isso faz parte da matéria de funções e suas composições. Para resolver, vamos lembrar como compor funções: basicamente, a gente substitui uma função dentro da outra.

Passo 2

Vamos começar com f circ g . Isso significa que a gente vai substituir a função g(x) dentro da função f(x) . Então, primeiro, vamos identificar o que é g(x) :
g(x) = 2x + 3
Agora, substituímos esse g(x) na função f(x) :
f(g(x)) = f(2x + 3)

Passo 3

Agora, vamos substituir 2x + 3 na expressão de f(x) :
f(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 2(2x + 3)
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, vamos expandir (2x + 3)^2 :
(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 cdot 2x cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9
Agora, subtraímos 2(2x + 3) :
4x^2 + 12x + 9 - (4x + 6) = 4x^2 + 12x + 9 - 4x - 6
Simplificando os termos semelhantes:
4x^2 + 8x + 3
Então, temos que:
f circ g (x) = 4x^2 + 8x + 3

Passo 4

Agora vamos calcular g circ f . Isso significa que a gente vai substituir a função f(x) dentro da função g(x) . Primeiro, vamos lembrar o que é f(x) :
f(x) = x^2 - 2x
Agora, substituímos isso na função g(x) :
g(f(x)) = g(x^2 - 2x)

Passo 5

Vamos substituir x^2 - 2x na expressão de g(x) :
g(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x) + 3
Vamos distribuir o 2:
2x^2 - 4x + 3
Então, temos que:
g circ f (x) = 2x^2 - 4x + 3

Resposta

As composições das funções são:
f circ g (x) = 4x^2 + 8x + 3
g circ f (x) = 2x^2 - 4x + 3

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