Esboce a região D identificando os limites e Calcule integral duplaD y e^x d A.
Observação: x varia de 1 (onde ln x=0 ) até e. E para cada x, y varia de 0 até ln x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<= ln x
e calcular
integral duplaDy,e^x,dA
O conteúdo usado é integração dupla em coordenadas cartesianas, trocando ou não a ordem de integração, e cálculo de integrais simples via primitiva.

Passo 2

Esboço de D: no plano xy, a fronteira superior é a curva y=ln x, que parte de (1,0) até (e,1), a fronteira inferior é y=0, e as retas verticais são x=1 e x=e.

Passo 3

Em seguida montamos o integral iterado em ordem dy,dx, pois para cada xin[1,e] temos yin[0,ln x]:
integral duplaDy,e^x,dA =integralx=1^el(integraly=0^ln xy,e^x,dyr)dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y, tratando e^x como constante:
integral0^ln xy,e^x,dy =e^xintegral0^ln xy,dy =e^x,(ln x)^22
Logo
integral duplaDy,e^x,dA =12integral1^ee^x(ln x)^2,dx

Passo 5

Reconhecemos que
integral e^x(ln x)^2dx
não tem primitiva elementar em termos de funções básicas. Em geral expressa-se em termos da função integral exponencial
Ei(x)=integral-infty^xe^tt,dt.
Por isso deixamos o resultado final em forma de integral única ou escrevemos formalmente:
integral duplaDy,e^x,dA =12integral1^ee^x(ln x)^2,dx

Resposta

boxed integral duplaDy,e^x,dA =12integral1^ee^x(ln x)^2,dx

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