(vale \mathbf{2 , 0} pontos) \square Utilizando o Teorema de Green, calcule
\oint_{\gamma}\left(x^{2}-x y\right) d x+\left(x y-y^{2}\right) d y
onde \gamma é o triângulo de vértices (0,0),(2,3) e (2,0) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\oint_{\gamma}\bigl(x^{2}-x y\bigr)\,dx+\bigl(x y-y^{2}\bigr)\,dy
ao longo da frente orientada anti-horário do triângulo com vértices (0,0), (2,3) e (2,0). Vamos usar o Teorema de Green que transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se P(x,y)=x^{2}-x y e Q(x,y)=x y-y^{2}, então
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x y-y^{2})=y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-x y)=-x.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y-(-x)=x+y.

Passo 3

A região D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,3). Em coordenadas, podemos tomar
0 \le x \le 2, \quad 0 \le y \le \tfrac{3}{2}x,
pois a reta que une (0,0) a (2,3) tem equação y=(3/2)x. Assim o integral torna-se
\iint_{D}(x+y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{\frac{3}{2}x}(x+y)\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
\int_{0}^{\frac{3}{2}x}(x+y)\,dy =x\cdot\frac{3}{2}x +\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{2}x\Bigr)^{2} =\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{8}x^{2} =\frac{21}{8}x^{2}.
Em seguida, integramos em x:
\int_{0}^{2}\frac{21}{8}x^{2}\,dx =\frac{21}{8}\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{21}{24}\cdot 8 =7.

Resposta

O valor do integral de linha é 7.

Exercícios relacionados