(vale 2,5 pontos)
Para a elipse de parametrização
(a) Determine uma de suas equações cartesianas.
(b) Determine
e
.
(c) Determine sua curvatura.
(b) Determine
(c) Determine sua curvatura.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede:
a) sua equação cartesiana;
b) o vetor unitário tangente e o vetor unitário normal
;
c) sua curvatura .
a) sua equação cartesiana;
b) o vetor unitário tangente
c) sua curvatura
Para isso vamos usar trigonometria (para a parte cartesiana), cálculo de derivadas vetoriais para obter
e
, a definição
e em seguida definir
como o vetor perpendicular a
em plano, isto é
.
Passo 2
Da parametrização temos
logo
e usando
obtemos a equação cartesiana
Passo 3
Calculamos a derivada
O módulo (velocidade) é
Logo o vetor tangente unitário é
Passo 4
Derivando de novo,
O determinante que aparece na fórmula da curvatura é
Como
, tem-se
Passo 5
Em plano, um vetor normal unitário pode ser obtido girando
em
:
Resposta
a) Equação cartesiana:
b)
c) Curvatura: