(vale 2,5 pontos) \square Para a elipse de parametrização
\gamma(\theta)=\left(\frac{2}{3} \cos \theta, \sin \theta\right), \theta \in[0,2 \pi] .
(a) Determine uma de suas equações cartesianas.
(b) Determine \vec{T}(\theta) e \vec{N}(\theta).
(c) Determine sua curvatura.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(\theta)=\Bigl(\tfrac{2}{3}\cos\theta,\;\sin\theta\Bigr),\quad \theta\in[0,2\pi],
e pede:
a) sua equação cartesiana;
b) o vetor unitário tangente \vec T(\theta) e o vetor unitário normal \vec N(\theta);
c) sua curvatura \kappa(\theta).
Para isso vamos usar trigonometria (para a parte cartesiana), cálculo de derivadas vetoriais para obter \gamma' e \gamma'', a definição
\vec T=\frac{\gamma'}{\|\gamma'\|},\quad \kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(\,x'^2+y'^2)^{3/2}},
e em seguida definir \vec N como o vetor perpendicular a \vec T em plano, isto é \vec N=(-T_y,T_x).

Passo 2

Da parametrização temos
x=\tfrac{2}{3}\cos\theta,\quad y=\sin\theta
logo
\cos\theta=\tfrac{3}{2}x,\quad \sin\theta=y,
e usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 obtemos a equação cartesiana
\frac{9}{4}x^2+y^2=1.

Passo 3

Calculamos a derivada
\gamma'(\theta)=\Bigl(-\tfrac{2}{3}\sin\theta,\;\cos\theta\Bigr).
O módulo (velocidade) é
\|\gamma'(\theta)\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac{2}{3}\sin\theta\bigr)^2+(\cos\theta)^2} =\sqrt{\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta}.
Logo o vetor tangente unitário é
\vec T(\theta) =\frac{\gamma'(\theta)}{\|\gamma'(\theta)\|} =\frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\sin\theta,\;\cos\theta\bigr)} {\sqrt{\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta}}.

Passo 4

Derivando de novo,
\gamma''(\theta)=\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cos\theta,\;-\,\sin\theta\Bigr).
O determinante que aparece na fórmula da curvatura é
x'y''-y'x'' =\Bigl(-\tfrac{2}{3}\sin\theta\Bigr)\bigl(-\sin\theta\bigr) -\bigl(\cos\theta\bigr)\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cos\theta\Bigr) =\frac{2}{3}.
Como \|\gamma'\|^2=\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta, tem-se
\kappa(\theta) =\frac{\tfrac{2}{3}}{\bigl(\|\gamma'(\theta)\|\bigr)^3} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\bigl(\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta\bigr)^{3/2}} =\frac{18}{\bigl(4\sin^2\theta+9\cos^2\theta\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Em plano, um vetor normal unitário pode ser obtido girando \vec T em 90^\circ:
\vec N(\theta)=\bigl(-T_y(\theta),\,T_x(\theta)\bigr) =\frac{\bigl(-\cos\theta,\;-\tfrac{2}{3}\sin\theta\bigr)} {\sqrt{\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta}}.

Resposta

a) Equação cartesiana:
\frac{9}{4}x^2+y^2=1.
b)
\vec T(\theta) =\frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\sin\theta,\;\cos\theta\bigr)} {\sqrt{\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta}},\quad \vec N(\theta) =\frac{\bigl(-\cos\theta,\;-\tfrac{2}{3}\sin\theta\bigr)} {\sqrt{\tfrac{4}{9}\sin^2\theta+\cos^2\theta}}.
c) Curvatura:
\kappa(\theta) =\frac{18}{\bigl(4\sin^2\theta+9\cos^2\theta\bigr)^{3/2}}.

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