Classifique todas as singularidades (polos simples, duplos, …) e calcule os resíduos correspondentes de
. Se precisar,
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar todas as singularidades e calcular os resíduos da função
As informações relevantes que o enunciado dá (ou que podemos extrair diretamente da expressão) são:
- O denominador z{2}\left(z{2}+\pi^{2}\right) zera quando
(com multiplicidade 2) e quando , ou seja em . - A função
é inteira (analítica em todo ) e tem . Também vale .
As perguntas concretas são: - Classificar cada singularidade em
(polo simples, duplo, essencial, removível, …). - Calcular o resíduo de
em cada uma dessas singularidades.
Passo 2
Classificação das singularidades — ideia e aplicação direta.
- Lembrete rápido: se uma função pode ser escrita localmente como
com analítica e , então é um polo de ordem . Se houver cancelamento (ou seja o zero cancela parte dos fatores), a ordem pode ser menor; se for zero infinito de denominação sem representação assim, é essencial; se não há singularidade a ponto é removível. - Observe que
. Assim o denominador se fatoriza como .
Aplicando isso: - Em
o fator dá um zero de ordem no denominador. Como é analítica e , não há cancelamento: é um polo de ordem (polo duplo). - Em
o denominador tem um fator de primeira ordem, e , então é polo simples. - Em
análogo: polo simples, pois .
Passo 3
Fórmula para resíduo em polo simples e cálculo em
e
.
- Para um polo simples
do tipo com analítica em , vale
- Aqui, usando a fatoração, para
temos
Calcule o denominador com cuidado:
logo
Portanto
Usando
e simplificando
(pois
), obtemos
- Para
procedemos do mesmo modo:
Aqui
e
, então o produto é
. Assim
(Observe que este resultado é o oposto do resíduo em
, como frequentemente ocorre por simetria ímpar em funções com
.)
Passo 4
Fórmula para resíduo em polo de ordem 2 e aplicação em
.
- Para um polo de ordem
em , a fórmula geral do resíduo é
- Aqui
e . Então
- Calcule a derivada usando a regra do quociente:
Avalia em
:
e
, então o numerador vira
. Portanto
- Como verificação alternativa (opcional): expandir em série de Laurent perto de
. Usando e vê-se que não aparece termo em , confirmando que o resíduo em é .
Passo 5
Resumo sucinto (pronto para “decorar” na prova): as singularidades são
(polo duplo) e
(polos simples). Os resíduos foram calculados explicitamente nos passos anteriores.