Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
x^{2}+4 y^{2}-2 x+8 y=35 em (3,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva dada implicitamente por
F(x,y)=x^{2}+4y^{2}-2x+8y-35=0
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (3,2). Vamos usar diferenciação implícita (ou gradiente) para achar a inclinação da tangente e da normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x-2,
\frac{\partial F}{\partial y}=8y+8.

Passo 3

Avaliaremos as parciais em (3,2):
\frac{\partial F}{\partial x}\Big|_{(3,2)}=2\cdot3-2=4,
\frac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(3,2)}=8\cdot2+8=24.

Passo 4

A inclinação da reta tangente é
m_{t}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\frac{4}{24}=-\frac{1}{6}.

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-2=-\tfrac{1}{6}(x-3).

Passo 6

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso de m_{t}, ou seja
m_{n}=-\frac{1}{m_{t}}=6.

Passo 7

A equação da reta normal em forma ponto-inclinação é
y-2=6(x-3).

Resposta

Reta tangente:
y-2=-\tfrac{1}{6}(x-3)
Reta normal:
y-2=6(x-3)

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