Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
l f(x, y)=x^2 y^-3+e^-2 x-y^3(2 x^2-3 y^3) no ponto P=(-4,2, f(-4,2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} y^{-3} + e^{-2x - y{3}}(2x{2} - 3y^{3}) $ no ponto $ P = (-4, 2, f(-4, 2)) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(-4, 2) $ para saber a coordenada z do ponto $ P $.
f(-4, 2)
Vamos resolver passo a passo:
P
f(-4, 2) = (-4)^2 cdot 2^-3 + e^-2(-4) - 2^3(2(-4)^2 - 3 cdot 2^3)
Então,
(-4)^2 = 16
Agora, no expoente do $ e $:
2^-3 = 18
16 cdot 18 = 2
e
Então,
-2(-4) = 8
Finalmente,
2^3 = 8
-8 = -8
e^8 - 8 = e^0 = 1
Portanto,
2(-4)^2 = 2 cdot 16 = 32

Passo 3

Agora que sabemos que $ P = (-4, 2, 10) $, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
P = (-4, 2, 10)
Calculando cada parte:
f
Para a segunda parte, usamos a regra do produto:
x
y
x
fx(x, y) = partialpartial x ( x^2 y^-3 ) + partialpartial x ( e^-2x - y^3(2x^2 - 3y^3) )
Então,
partialpartial x ( x^2 y^-3 ) = 2x y^-3
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
partialpartial x ( e^-2x - y^3(2x^2 - 3y^3) ) = e^-2x - y^3 cdot partialpartial x(2x^2 - 3y^3) + (2x^2 - 3y^3) cdot partialpartial x ( e^-2x - y^3 )
Calculando cada parte:
= e^-2x - y^3 cdot 4x + (2x^2 - 3y^3) cdot (-2) e^-2x - y^3
Para a segunda parte, novamente usamos a regra do produto:
= 4x e^-2x - y^3 - 2(2x^2 - 3y^3) e^-2x - y^3
= (4x - 4x^2 + 6y^3) e^-2x - y^3
fx(x, y) = 2x y^-3 + (4x - 4x^2 + 6y^3) e^-2x - y^3
y
Então,
fy(x, y) = partialpartial y ( x^2 y^-3 ) + partialpartial y ( e^-2x - y^3(2x^2 - 3y^3) )

Passo 4

Vamos agora avaliar as derivadas parciais no ponto $ (-4, 2) $.
Primeiro, $ f_x(-4, 2) $:
(-4, 2)
Calculando passo a passo:
fx(-4, 2)
fx(-4, 2) = 2(-4) cdot 2^-3 + [4(-4) - 4(-4)^2 + 6(2)^3] e^-2(-4) - 2^3
2(-4) = -8
Agora, os termos dentro dos colchetes:
2^-3 = 18
-8 cdot 18 = -1
4(-4) = -16
(-4)^2 = 16
Então,
-4 cdot 16 = -64
E o expoente do $ e $:
6(2)^3 = 6 cdot 8 = 48
-16 - 64 + 48 = -32
e
-2(-4) = 8
Portanto,
2^3 = 8
Agora, $ f_y(-4, 2) $:
8 - 8 = 0
Calculando passo a passo:
e^0 = 1
fx(-4, 2) = -1 + (-32) cdot 1 = -33
fy(-4, 2)
Agora, os termos dentro dos parênteses:
fy(-4, 2) = -3(-4)^2 cdot 2^-4 + (-9(2)^2 - 6(-4)^2 cdot 2^2 + 9(2)^5) e^-2(-4) - 2^3
(-4)^2 = 16
2^-4 = 116
-3 cdot 16 cdot 116 = -3
Então,
-9(2)^2 = -9 cdot 4 = -36
E o expoente do $ e $:
(-4)^2 = 16
6 cdot 16 cdot 4 = 6 cdot 64 = 384
9(2)^5 = 9 cdot 32 = 288
-36 - 384 + 288 = -132
Portanto,
e

Passo 5

Agora que temos $ f_x(-4, 2) = -33 $ e $ f_y(-4, 2) = -135 $, vamos usar a fórmula do plano tangente:
fx(-4, 2) = -33
Substituindo os valores:
fy(-4, 2) = -135
Simplificando:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 10 - 33(x + 4) - 135(y - 2)

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