Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} y^{-3} + e^{-2x - y{3}}(2x{2} - 3y^{3}) $ no ponto $ P = (-4, 2, f(-4, 2)) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(-4, 2) $ para saber a coordenada z do ponto $ P $.
Vamos resolver passo a passo:
Então,
Agora, no expoente do $ e $:
Então,
Finalmente,
Portanto,
Passo 3
Agora que sabemos que $ P = (-4, 2, 10) $, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, usamos a regra do produto:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, novamente usamos a regra do produto:
Então,
Passo 4
Vamos agora avaliar as derivadas parciais no ponto $ (-4, 2) $.
Primeiro, $ f_x(-4, 2) $:
Calculando passo a passo:
Agora, os termos dentro dos colchetes:
Então,
E o expoente do $ e $:
Portanto,
Agora, $ f_y(-4, 2) $:
Calculando passo a passo:
Agora, os termos dentro dos parênteses:
Então,
E o expoente do $ e $:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos $ f_x(-4, 2) = -33 $ e $ f_y(-4, 2) = -135 $, vamos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é